Kezdőlap


Feladat:	321. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Devecis M. , Friedmann B. , Grosz Andor , Grünhut B. , Kornis Ö. , Kunsch M. , Mayer Miksa , Prakatur T. , Riesz F. , Spitzer Ö. , Suschnik József , Visnya Aladár , Weisz L.
Füzet:	1897/június, 173 - 174. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Ceva-tétel, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/február: 321. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük $A_{1}, B_{1}$ és $C_{1}$ -gyel azon pontokat, melyekben az $A A'', B B''$ és $C C''$ egyenesek az $a, b$ és $c$ oldalakat metszik.

Ha a Ceva-féle tételt ^{$^{*}$} az

A'' B C, B'' C A, C'' A B

háromszögekre és az

A, B, C

pontokra alkalmazzuk, úgy kapjuk, hogy:

\begin{matrix} \frac{B A_{1}}{C A_{1}} \cdot \frac{C C'}{A'' C'} \cdot \frac{A'' B'}{B B'} = - 1 \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{C B_{1}}{A B_{1}} \cdot \frac{A A'}{B'' A'} \cdot \frac{B'' C'}{C C'} = - 1 \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{A C_{1}}{B C_{1}} \cdot \frac{B B'}{C'' B'} \cdot \frac{C'' A'}{A A'} = - 1 \end{matrix}

Ha továbbá még tekintetbe vesszük, hogy az

A' B'

és

C'

pontok egy egyenesen feküsznek, úgy:

\begin{matrix} \frac{A'' C'}{B'' C'} \cdot \frac{B' A'}{C'' A'} \cdot \frac{C'' B'}{A'' B'} = 1. \end{matrix}

E négy egyenletet egymással szorozva, kapjuk, hogy:

\begin{matrix} \frac{A C_{1}}{B C_{1}} \cdot \frac{B A_{1}}{C A_{1}} \cdot \frac{C B_{1}}{A B_{1}} = - 1 \end{matrix}

a mi feltétele annak, hogy az

A A'', B B''

és

C C''

egyenesek egy

E

pontban metszik egymást.

(Suschnik József, műegyetemi hallgató, Budapest.)

Jegyzet. E feladat megoldását a 155. feladat is tartalmazza, a mennyiben az

A'' B'' C''

és

A B C

háromszögek megfelelő oldalainak

A', B', C'

metszéspontjai egy

e

egyenesbe esvén, a megfelelő csúcsokat összekötő

A A'', B B''

és

C C''

egyenesek egy pontban metszik egymást.

A feladatot még megoldották: Grosz Andor, Mayer Miksa és Visnya Aladár egyetemi hallgatók; továbbá: Devecis M., Friedmann B., Grünhut B., Kornis Ö., Kunsch M., Prakatur T., Riesz F., Spitzer Ö., Weisz L.

^{$^{*}$}+ Lásd: K.M.L. II. évfolyam, 94. lap.