Kezdőlap


Feladat:	319. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hofbauer Ervin
Füzet:	1897/április, 143 - 144. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Téglatest, Hossz, kerület, Terület, felszín, Térfogat, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/február: 319. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $a, b$ és $c$ a test három éle, akkor két átellenes csúcsának egymástól való távolsága

\begin{matrix} = \sqrt[]{a^{2} + b^{2} + c^{2}} . \end{matrix}

(1)

A feladat értelmében továbbá

\begin{matrix} a b c = v \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} a + b + c = k \end{matrix}

(3)

\begin{matrix} 16 t^{2} = k (k - 2 a) (k - 2 b) (k - 2 c) \end{matrix}

(4)

vagy

\begin{matrix} 16 t^{2} = k^{4} - 2 (a + b + c) k^{3} + 4 (a b + a c + b c) k^{2} - 8 a b c k \end{matrix}

mibe (2)-t és (3)-at helyettesítve:

\begin{matrix} 16 t^{2} = k^{4} - 2 k^{4} + 4 (a b + a c + b c) k^{2} - 8 v k, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} 2 (a b + a c + b c) = \frac{16 t^{2} + k^{4} + 8 v k}{2 k^{2}} \end{matrix}

(5)

(3)-nak mindkét oldalát négyzetre emelve:

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 (a b + a c + b c) = k^{2} . \end{matrix}

(6)

Ezen egyenletből (5)-öt kivonva, nyerjük:

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} = \frac{k^{4} - 16 t^{2} - 8 v k}{2 k^{2}} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} d = \frac{1}{2 k} \sqrt[]{2 (k^{4} - 16 t^{2} - 8 v k)} . \end{matrix}

(Hofbauer Ervin.)

A feladatot még megoldották. Bauss O., Devecis M., Fekete J., Frankl J., Freund A., Freund E., Friedmann B., Goldstein Zs., Goldziher K., Jakobovics D., Kántor N., Kertész L., Klein M., Koffler K., Kornis Ö., Lipschitz J., Mayer G., Riesz F., Schwartz E., Spitzer Ö., Szabó I., Szigeth G.