Kezdőlap


Feladat:	318. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Friedmann Bernát , Weisz Lipót
Füzet:	1897/június, 171 - 173. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Beírt kör, Szinusztétel alkalmazása, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/február: 318. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Legyenek az $A B C$ háromszög oldalai: $a, b, c$ ; szögei: $α, β, γ$ . Az $A B C'$ és $A C B'$ háromszögekből a sinus-tétel alapján:

\begin{matrix} B C' = \frac{c cos α}{cos γ} és C B' = \frac{b cos α}{cos β} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} B' C' = C' B + a + C B' \end{matrix}

\begin{matrix} = a + \frac{b cos α}{cos β} + \frac{c cos α}{cos γ} \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{a cos β cos γ + b cos α cos γ + c cos α cos β}{cos β cos γ} \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{a cos β cos γ + cos α (b cos γ + c cos β)}{cos β cos γ} \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{a cos β cos γ + a cos α}{cos β cos γ} = \frac{a (cos α + cos β cos γ)}{cos β cos γ} \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{a (sin β sin γ - cos β cos γ + cos β cos γ)}{cos β cos γ} \end{matrix}

\begin{matrix} = a tan β tan γ . \end{matrix}

Legyen továbbá az

A B' C'

háromszögbe írható kör középpontja

O

, sugara

r

. Az

O C' B'

háromszög területét kétféleképpen kifejezve nyerjük, hogy

\begin{matrix} \frac{1}{2} C' B' \cdot r = \frac{1}{2} C' D \cdot B' D \cdot sin \frac{B' + C'}{2} \end{matrix}

\begin{matrix} C' B' \cdot r = \frac{B' C' sin \frac{B'}{2}}{sin \frac{B' + C'}{2}} \cdot \frac{B' C' sin \frac{C'}{2}}{sin \frac{B' + C'}{2}} sin \frac{B' + C'}{2} \end{matrix}

miből

\begin{matrix} r = \frac{B' C' sin \frac{B'}{2} sin \frac{C'}{2}}{sin \frac{B' + C'}{2}} \end{matrix}

\begin{matrix} B' = 90^{\circ} - β, C' = 90^{\circ} - γ \end{matrix}

s így

\begin{matrix} r = \frac{a tan β tan γ sin (45^{\circ} - \frac{β}{2}) sin (45^{\circ} - \frac{γ}{2})}{cos \frac{β + γ}{2}} \end{matrix}

(Friedmann Bernát.)

II. Megoldás. Vonjuk meg a háromszög

A D, B E

és

C F

magasságait, melyek egymást

H

pontban metszik.

\begin{matrix} A C' ∥ H B \end{matrix}

azért

\begin{matrix} A C' B' ▵ \sim H B C ▵ \end{matrix}

s így

\begin{matrix} C' B' : a = A D : H D \end{matrix}

miből

\begin{matrix} C' B' = a \frac{A D}{H D} \end{matrix}

de az

A D C

és

H D C

derékszögű háromszögekből:

\begin{matrix} A D = C D \cdot tan γ, H D = C D \cdot tan H C D = C D \cdot cot β \end{matrix}

és így

\begin{matrix} \frac{A D}{H D} = tan β tan γ \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} C' B' = a tan β tan γ . \end{matrix}

(Weisz Lipót.)

Megoldások száma:

52