Kezdőlap


Feladat:	314. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Weisz Lipót
Füzet:	1897/április, 133. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Oszthatóság, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/február: 314. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Ha az adott kifejezés $(x^{2} - 1)$ -gyel osztható, akkor kell hogy az

\begin{matrix} x^{4} + p x^{2} + q x + a^{2} = 0 \end{matrix}

egyenletet az

x = 1

és

x = - 1

gyökök kielégítsék; vagyis kell, hogy az adott kifejezés az

x = 1

és

x = - 1

értékek mellett megsemmisüljön. Áll tehát, hogy

\begin{matrix} 1 + p + q + a^{2} = 0 és 1 + p - q + a^{2} = 0, \end{matrix}

miből

q = 0

és

p = - (a^{2} + 1)

;

p

-nek és

q

-nak ezen értékei mellett a megadott kifejezés következőképp alakul:

\begin{matrix} x^{4} - (a^{2} + 1) x^{2} + a^{2} = (x^{2} - 1) (x^{2} - a^{2}), \end{matrix}

mely

(x^{2} - a^{2})

-tel csakugyan osztható.

(Weisz Lipót.)

II. Megoldás. Az osztást mindkét esetben elvégezve, a következő maradékokat kapjuk:

\begin{matrix} q x + a^{2} + p + 1 és q x + a^{2} (a^{2} + p + 1) . \end{matrix}

Hogy az első maradék

x

-nek bármely értéknél megsemmisüljön, kell hogy legyen:

\begin{matrix} q = 0 és a^{2} + p + 1 = 0. \end{matrix}

Látni való, hogy e feltételek mellett a második maradék is nulla lesz.
Fordítva azonban a tétel nem áll, mert a második maradék akkor is megsemmisül, ha

q = és a^{2} = 0

, mely esetben az első maradék nem nulla.

Megoldások száma:

19