Feladat: 310. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Deceis M. ,  Friedmann Bernát ,  Riesz Frigyes ,  Suschnik József ,  Szabó Károly ,  Visnya Aladár 
Füzet: 1897/április, 140 - 141. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Térelemek és részeik, Párhuzamos szelők tétele, Háromszögek hasonlósága, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1897/január: 310. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy a feladat meg van oldva és húzzunk az A',B',C' pontokon keresztül párhuzamosokat s-sel (a',b',c'), melyek ekkor tehát a P ponton átmenő és az s-sel párhuzamos φ síkban fekszenek.

 
 

Ha most e síkrendszert egy tetszőleges, de legczélszerűbben a P ponton átmenő és az s-re merőleges π síkkal metsszük és az a',b',c' egyenesek átdöféspontjai e síkkal A'',B'',C'', akkor:
A''B'':B''C''=A'B':B'C'.

Feladatunk tehát ily tulajdonságú A'',B'',C'' pontokat találni e π síkban. Legyenek a π síknak az α,β,γ síkokkal való metszésvonalai a,b,c. A π síkban tehát most a következő planimetriai szerkesztés kell elvégeznünk: a P ponton átmenő egyenessel úgy átmetszeni az a,b,c egyeneseket, hogy a keletkezett A''B'' és B''C'' távolságok aránya az adott AB:BC arány legyen.
 
 

E czélból felveszünk a b egyenesen egy tetszőleges Q pontot és innen AB körzőnyílással átvágjuk a-t, a mi által A1 és A2 pontokat nyerjük. Most A1Q-t és A2Q-t meghosszabbítjuk Q-n át BC-vel és az így nyert B1 és B2 pontokat egymással összekötjük; az összekötő egyenes ‐ látni való ‐ párhuzamos lesz a-val. Kössük össze ennek c-vel való metszéspontját N-t Q-val és ezen egyenes metszéspontját a-val jelöljük M-mel, akkor MQA1 és NQB1 hasonlóságából
MQ:NQ=AQ:QB1=AB:BC.

Ha tehát MN-nel a P pontból párhuzamost húzunk, ez oly A'',B'',C'' pontokat fog kimetszeni, melyekre nézve
A''B'':B''C''=AB:BC.

Az ily módon nyert A'',B'',C'' pontok és a P pont tehát a φ síkban fekszenek, melyben újra egy planimetriai feladatot kell megoldani: adva vannak a',b',c' egyenesek, melyeknek egymástól való távolságaik úgy aránylanak, mint AB:BC; húzzunk egy kívül fekvő P pontból oly egyenest, a melynek A',B',C' metszéspontjaira nézve A'B'=AB és B'C'=BC.
 
 

Felveszünk b'-n egy tetszés szerinti F pontot és ebből AB körzőnyílással átvágjuk a'-t, a mi által G és H pontokat nyertünk. Az FG és FH-val P-ből vont párhuzamosok két a követelményeknek megfelelő egyenest adnak.
E második szerkesztés csak akkor ad megoldást, ha az a' és b' meg a b' és c' közötti távolságok megfelelően kisebbek az AB meg BC távolságoknál, vagy ha legfeljebb megfelelően egyenlők.
 
(Visnya Aladár.)
 
A feladatot még megoldották. Suschnik J., műegyetemi hallgató; Devecis M., Friedmann B., Riesz F., Szabó K.