Kezdőlap


Feladat:	307. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kornis Ödön
Füzet:	1897/április, 138 - 139. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Súlypont, Hossz, kerület, Koszinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/január: 307. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $S$ a háromszög tömegközéppontja, az $a$ oldalhoz tartozó középvonal $A A_{1} = K_{1}$ , $D S A_{1} ∢ = ε$ ; $B D C$ háromszögből (l. K. M. L. 204. feladat)

\begin{matrix} {\bar{D A_{1}}}^{2} = \frac{2 q^{2} + 2 r^{2} - a^{2}}{4} \end{matrix}

(1)

D S A

háromszögből:

\begin{matrix} p^{2} = {\bar{D S}}^{2} + \frac{4 K_{1}^{2}}{9} + \frac{4 D S \cdot K_{1}}{3} cos ε \end{matrix}

(2)

D S A_{1}

háromszögből:

\begin{matrix} 2 {\bar{D A_{1}}}^{2} = 2 {\bar{D S}}^{2} + \frac{2 K_{1}^{2}}{9} + \frac{4 D S \cdot K_{1}}{3} cos ε \end{matrix}

(3)

(2)-t és (3)-at összeadva:

\begin{matrix} p^{2} + 2 {\bar{D A_{1}}}^{2} = 3 {\bar{D S}}^{2} + \frac{2}{3} K_{1}^{2} . \end{matrix}

(4)

Tegyük (4)-be (1)-ből

{\bar{D A_{1}}}^{2}

értékét és

K_{1}^{2}

helyébe a vele egyenlő

\frac{2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}}{4}

értéket, úgy nyerjük, hogy

\begin{matrix} 9 {\bar{D S}}^{2} = 3 (p^{2} + q^{2} + r^{2}) - (a^{2} + b^{2} + c^{2}) . \end{matrix}

(Kornis Ödön, Pécs.)

Jegyzet. Ezen egyenletből láthatjuk, hogy

p, q, r

távolságok négyzeteinek összege akkor legkisebb, ha

D S = 0

, tehát ha:

\begin{matrix} p^{2} + q^{2} + r^{2} = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3} . \end{matrix}

Ekkor

D

a háromszög tömegközéppontja. Találtunk tehát egy olyan pontot ‐ a tömegközéppontot ‐ melyre nézve a csúcsoktól való távolságok négyzeteinek összege minimum.
Látjuk továbbá még azt is, hogy ha a tömegközéppont köré kört írunk, úgy a kör kerületének minden egyes pontjára nézve a háromszög csúcsaitól való távolságok négyzeteinek összege állandó.

A feladatot még megoldották. Dénes A., Eislitzer Gy., Friedmann B., Goldstein Zs., Grünhut B., Hofbauer E., Kántor N., Klein M., Mihálkovics E., Prakatur T., Riesz F., Schiffer H., Spitzer Ö., Szabó I., Szabó K., Weisz L.