Kezdőlap


Feladat:	302. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Klein Mór
Füzet:	1897/április, 136 - 137. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Egyenes körkúpok, Térfogat, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Beírt kör, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/január: 302. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az egyenlőszárú háromszög alapja $2 a$ , magassága $m$ , szára $b$ , akkor az egyenes kúp köbtartalmának és a háromszögbe írható kör sugarának képletéből a következő egyenletek írhatók fel:

\begin{matrix} \frac{3 v}{π} = a^{2} m \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} p = \frac{2 t}{2 a + 2 b} = \frac{t}{a + b} = \frac{a m}{a + \sqrt[]{a^{2} + m^{2}}} \end{matrix}

(2)

(2)-ből

\begin{matrix} a^{2} = \frac{m ρ^{2}}{m - 2 ρ} \end{matrix}

(1)-ből pedig

\begin{matrix} a^{2} = \frac{3 v}{π m}, \end{matrix}

mely két értéket egyenlővé téve s az egyenletet rendezve:

\begin{matrix} ρ^{2} π m^{2} - 3 v m + 6 v ρ = 0, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} m = \frac{3 v \pm \sqrt[]{9 v^{2} - 24 ρ^{3} v π}}{2 ρ^{2} π} \end{matrix}

ezen értéket (1)-be téve:

\begin{matrix} 2 a = \frac{3 v \mp \sqrt[]{9 v^{2} - 24 ρ^{3} v π}}{ρ π} . \end{matrix}

A feladat lehetséges, ha

\begin{matrix} 9 v^{2} > 24 ρ^{3} v π \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} v > \frac{8 ρ^{3} π}{3} . \end{matrix}

(Klein Mór, Győr.)

A feladatot még megoldották. Bálint B., Bauss O., Devecis M., Freund A., Friedmann B., Geist E., Goldstein Zs., Grünhut B., Hofbauer E., Iványi B., Kántor N., Ländler D., Orlowszky F., Riesz F., Schiffer H., Spitzer Ö., Szabó I., Szabó K., Szilágyi Z.