Kezdőlap


Feladat:	298. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Friedmann Bernát , Grünhut Béla , Klein Mór , Kornis Ödön , Riesz Frigyes , Roth Miksa , Weisz Árnin
Füzet:	1897/április, 135 - 136. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körérintési szerkesztések, Pont körre vonatkozó hatványa, Hatványvonal, hatványpont, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1896/december: 298. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat megoldását megelőzőleg néhány tételt mutatunk be, melyek már nem tartoznak középiskoláink tananyagához.
1. Ismeretes, hogy ha egy tetszés szerinti $P$ pontból a kört metsző sugarakat vonunk, úgy az egyes sugarak szeleteinek szorzata állandó számérték; így pl. $P A \cdot P A_{1} = P B \cdot P B_{1} =$ const.

Ezen számértéket a

P

pontnak a körre vonatkozó hatványának nevezzük. Ha

P

pont a körön kívül fekszik, úgy a körre vonatkozó hatványa egyenlő a körhöz vont érintő négyzetével, tehát:

{\bar{P T}}^{2}

. Ha pedig egy a kör középpontján átmenő sugarat tekintünk, úgy

P

pont hatványa egyenlő

(P O + r) (P O - r) = {\bar{P O}}^{2} - r^{2}

, vgyis ekkor

P

hatványát megkapjuk, ha a kör középpontjától való távolságának négyzetéből kivonjuk a sugár négyzetét.
2. Ha a síkban két kört veszünk fel, úgy bizonyára sok oly pont van, melynek a két körre vonatkozó hatványa egyenlő. Ezen pontok mértani helyét hatványvonalnak nevezzük. A hatványvonal merőlegesen áll a két kör centrálisára.

Legyen ugyanis

P

a hatványvonalnak egy pontja, úgy

\begin{matrix} {\bar{P O_{1}}}^{2} - r_{1}^{2} = {\bar{P O_{2}}}^{2} - r_{2}^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} {\bar{P O_{1}}}^{2} = {\bar{P C}}^{2} + {\bar{O_{1} C}}^{2}, {\bar{P O_{2}}}^{2} = {\bar{P C}}^{2} + {\bar{O_{2} C}}^{2} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} {\bar{O_{1} C}}^{2} - r_{1}^{2} = {\bar{O_{2} C}}^{2} - r_{2}^{2} \end{matrix}

mely egyenlet mutatja, hogy

C

csakugyan pontja a hatványvonalnak.
3. Két egymást érintő kör hatványvonala a két kör közös érintője, mert ekkor:

\begin{matrix} {\bar{P O_{1}}}^{2} - r_{1}^{2} = {\bar{P O_{2}}}^{2} - r_{2}^{2} = {\bar{P C}}^{2} . \end{matrix}

4. Két egymást metsző kör hatványvonala a két kör közös szelője. Ha ugyanis a két kör egyik metszéspontját

P

-vel jelöljük, úgy

\begin{matrix} {\bar{P O_{1}}}^{2} - {\bar{O_{1} C}}^{2} = {\bar{P O_{2}}}^{2} - {\bar{O_{2} C}}^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} \bar{P O_{1}} = r_{1}, és \bar{P O_{2}} = r_{2} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} {\bar{O_{1} C}}^{2} - r_{1}^{2} = {\bar{O_{2} C}}^{2} - r_{2}^{2} . \end{matrix}

5. A hatványvonalnak egy tetszés szerinti pontjából a körökhöz vont érintők egyenlők;

P T_{1} = P T_{2}

, a mi a hatvány definitiójából következik.
Ezen tételek alkalmazásával könnyen megszerkeszthetjük két egymást sem nem érintő, sem nem metsző körnek hatványvonalát. Rajzolunk ugyanis egy harmadik kört, mely az adott köröket metszi. Két-két körnek közös szelői

P

pontban metszik egymást, melyből a megadott körök centrálisára merőlegest vonva, megkapjuk a keresett hatványvonalt.
Feladatunk értelmében oly pontot kell keresnünk, melyből három adott körhöz egyenlő hosszú érintőket vonhatunk. E pont a körök hatványvonalainak metszéspontja s így az előbbeniek alapján könnyen megszerkeszthető. A kör sugara a középpontjából bármely körhöz vont érintő.

A feladatot megoldották. Friedmann B., Grünhut B., Klein M., Kornis Ö., Riesz F., Roth M., Weisz Á.