Kezdőlap


Feladat:	296. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Friedmann Bernát
Füzet:	1897/március, 124. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Négyszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1896/december: 296. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $M Q = x, M P = y, C M = r .$ A $C D M$ derékszögű háromszögben

\begin{matrix} r^{2} = {\bar{C D}}^{2} + {\bar{D M}}^{2} . \end{matrix}

C D = x - r, D M = y - r,

s így:

\begin{matrix} r^{2} = {(x - r)}^{2} + {(y - r)}^{2} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} - 2 r (x + p) + r^{2} = 0 \end{matrix}

(1)

A feladat értelmében

\begin{matrix} x + p = p \end{matrix}

(2)

mit (1)-be téve, nyerjük,hogy

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + r^{2} - 2 r p = 0 \end{matrix}

(3)

A (2) és (3) alatti egyenletekből nyerjük, hogy:

\begin{matrix} x = \frac{1}{2} [p \pm \sqrt[]{p^{2} - 2 {(p - r)}^{2}}] \end{matrix}

\begin{matrix} x = \frac{1}{2} [p \mp \sqrt[]{p^{2} - 2 {(p - r)}^{2}}] . \end{matrix}

A feladat lehetséges, ha

\begin{matrix} p^{2} - 2 {(p - r)}^{2} ≧ 0 \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} [p + (p - r) \sqrt[]{2}] [p - (p - r) \sqrt[]{2}] ≧ 0. \end{matrix}

(4)

E kifejezés

> 0

, ha a két tényező egyenlő előjelű; negatív a két tényező nem lehet, mert ha

p > r

, az első tényező positív, ha pedig

p < r

, a második tényező positív.
Az első tényező

≧ 0,

p ≧ r (2 - \sqrt[]{2})

.
A második tényező

≧ 0,

p ≦ r (2 + \sqrt[]{2})

.
A feladat tehát akkor oldható meg, ha:

\begin{matrix} r (2 - \sqrt[]{2}) ≦ p ≦ r (2 + \sqrt[]{2}) \end{matrix}

(4)-ben a baloldal

= 0

, ha

\begin{matrix} p = r (2 \pm \sqrt[]{2}) \end{matrix}

ekkor

\begin{matrix} x = y = \frac{p}{2} . \end{matrix}

Ezen esetben a feladatnak csak egy megoldása van, a négyszög szabályos; különben pedig két megoldása van a feladatnak.
Szerkesztés. A derékszög két szárára felmérjük az

O C = O D = p

távolságokat. A

C D

egyenesnek a körrel való metszéspontja a keresett

M

pont. Ugyanis mind az

M Q D

, mind az

M P C

háromszög hasonló a

C O D

egyenlőszárú háromszöghöz s így

M Q = D Q

, továbbá

M P = Q O

, miért is

M Q + M P = D Q + Q O = D O = p

. A feladatnak két pont felel meg, ha

D C

a kör metszője, egy pont, ha érintője. E feltételek azonosak az előbbi feladatban foglaltakkal.

(Friedmann Bernát, S.-A.-Ujhely.)

A 296. feladatot megoldották: Bálint B., Devecis M., Fischer O., Kornis Ö., Lichtenberg S., Spitzer Ö., Weisz Á.

Mindkét feladatot megoldották: Fekete J., Freund A., Geist E., Goldstein Zs., Grünhut B., Hofbauer E., Kántor N., Klein M., Preisz K., Riesz F., Roth M., Szabó I., Szabó K