Kezdőlap


Feladat:	293. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Kornis Ödön , Visnya Aladár
Füzet:	1897/március, 122 - 123. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1896/december: 293. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Ismeretes, hogy $A B C$ háromszög magasságai az $A_{1} B_{1} C_{1}$ háromszög belső szögfelezői, metszéspontjuk $M$ tehát az $A_{1} B_{1} C_{1}$ háromszögbe írható kör középpontja; e kör sugara tehát az $M$ pontból $A_{1} C_{1}$ -re bocsátott $M M_{1}$ merőleges. $M M_{1} A_{1} ▵ \sim A C_{1} C ▵$ , mert mindkettő derékszögű és $M_{1} A_{1} N ∢ = C_{1} C A ∢ = 90^{\circ} - A$ , s így:

\begin{matrix} r : M A_{1} = A C_{1} : b \end{matrix}

\begin{matrix} r = \frac{M A_{1} \cdot A C_{1}}{b} \end{matrix}

A C_{1} M

háromszögből:

\begin{matrix} A C_{1} = A M sin B, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} r = A M \cdot M A_{1} \frac{sin B}{b}, \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{sin B}{b} = \frac{1}{2 R} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} 2 R r = M A \cdot M A_{1} . \end{matrix}

(Kornis Ödön, főreálisk. VI. o. tan. Pécs.)

II. Megoldás.

M A C_{1}

háromszögből:

\begin{matrix} M A = \frac{A C_{1}}{sin β} = \frac{b cos α}{sin β} . \end{matrix}

Húzzuk meg a

C_{1} A_{1}

-re merőleges

M N = r

sugarat, akkor, mivel

A A_{1} C_{1} ∢ = 90^{\circ} - α

, az

M N A_{1}

háromszögből:

\begin{matrix} M A_{1} = \frac{r}{cos α} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} M A \cdot M A_{1} = \frac{r b}{sin β} = 2 r R . \end{matrix}

(Visnya Aladár.)

A feladatot még megoldották: Bauss O., Dénes A., Fischer O., Friedmann B., Geist E., Goldstein Zs., Grünhut B., Hofbauer E., Kántor N., Klein M., Preisz K., Riesz F., Schiffer H., Schneider B., Szabó I., Thiringer A., Weisz L.