Kezdőlap


Feladat:	281. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1897/február, 104 - 105. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Szinusztétel alkalmazása, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1896/november: 281. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A háromszög szerkesztését lásd a K.M.L.IV. évfolyamának 44. lapján.
Ugyanott láttuk már, hogy $α_{1} = 180^{\circ} - 2 α és α_{1} = cos α$ ; így tehát

\begin{matrix} α = 90^{\circ} - \frac{α_{1}}{2} és α = \frac{α_{1}}{sin α_{1}}; \end{matrix}

legyen

2 s_{1} = a_{1} + b_{1} + c_{1}

, úgy

\begin{matrix} cos α = sin \frac{α_{1}}{2} = \sqrt[]{\frac{(s_{1} - b_{1}) (s_{1} - c_{1})}{b_{1} c_{1}}}, cos β = \sqrt[]{\frac{(s_{1} - a_{1}) (s_{1} - c_{1})}{a_{1} c_{1}}}, \end{matrix}

\begin{matrix} c o s γ = \sqrt[]{\frac{(s_{1} - a_{1}) (s_{1} - b_{1})}{a_{1} b_{1}}}; \end{matrix}

Jegyzet.

A B C

háromszögön kívül még

A M C, B M C

és

B M A

tompaszögű háromszögek is kielégítik a feladatot. E háromszögek szögei közül az

M

csúcsnál fekvők a hegyesszögű háromszög szemben fekvő szögeinek mellékszögei;

A, B

és

C

csúcsoknál fekvő szögeik pedig pótlószögei a hegyesszögű háromszög ugyanazon oldalának ellenkező végpontján fekvő szögeinek. E háromszögek oldalai:

\begin{matrix} A M = \frac{c cos α}{sin γ} = \frac{a cos α}{sin α} = a_{1} \sqrt[]{\frac{b_{1} c_{1}}{s_{1} (s_{1} - a_{1})}}, \end{matrix}

\begin{matrix} B M = \frac{a cos β}{sin α} = \frac{b cos β}{sin β} = b_{1} \sqrt[]{\frac{a_{1} c_{1}}{s_{1} (s_{1} - b_{1})}}, \end{matrix}

\begin{matrix} C M = \frac{b cos γ}{sin β} = \frac{c cos γ}{sin γ} = c_{1} \sqrt[]{\frac{a_{1} b_{1}}{s_{1} (s_{1} - c_{1})}} . \end{matrix}

E feladatot még megoldották: Bálint Béla, Dénes Aladár, Freund Antal, Friedmann Bernát, Geist Emil, Goldstein Zsigmond, Goldziher Károly, Grünhut Béla, Hofbauer Ervin, Kántor Nándor, Klein Mór, Kornis Ödön, Kreizler Győző, Plander Géza, Porde Gyula, Riesz Frigyes, Schiffer Hugó, Szabó István, Szabó Károly, Szigeth Gábor.