Kezdőlap


Feladat:	280. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1897/február, 104. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasságvonal, Háromszögek szerkesztése, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1896/november: 280. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A háromszög szerkesztését lásd a K.M.L.IV. évfolyamának 44. lapján.
Ugyanott láttuk már, hogy $α_{1} = 180^{\circ} - 2 α és α_{1} = cos α$ ; így tehát

\begin{matrix} α = 90^{\circ} - \frac{α_{1}}{2} és α = \frac{α_{1}}{sin α_{1}}; \end{matrix}

legyen

2 s_{1} = a_{1} + b_{1} + c_{1}

, úgy

\begin{matrix} cos α = sin \frac{α_{1}}{2} = \sqrt[]{\frac{(s_{1} - b_{1}) (s_{1} - c_{1})}{b_{1} c_{1}}}, cos β = \sqrt[]{\frac{(s_{1} - a_{1}) (s_{1} - c_{1})}{a_{1} c_{1}}}, \end{matrix}

\begin{matrix} c o s γ = \sqrt[]{\frac{(s_{1} - a_{1}) (s_{1} - b_{1})}{a_{1} b_{1}}}; \end{matrix}

Jegyzet.

A B C

háromszögön kívül még

A M C, B M C

és

B M A

tompaszögű háromszögek is kielégítik a feladatot. E háromszögek szögei közül az

M

csúcsnál fekvők a hegyesszögű háromszög szemben fekvő szögeinek mellékszögei;

A, B

és

C

csúcsoknál fekvő szögeik pedig pótlószögei a hegyesszögű háromszög ugyanazon oldalának ellenkező végpontján fekvő szögeinek. E háromszögek oldalai:

\begin{matrix} A M = \frac{c cos α}{sin γ} = \frac{a cos α}{sin α} = a_{1} \sqrt[]{\frac{b_{1} c_{1}}{s_{1} (s_{1} - a_{1})}}, \end{matrix}

\begin{matrix} B M = \frac{a cos β}{sin α} = \frac{b cos β}{sin β} = b_{1} \sqrt[]{\frac{a_{1} c_{1}}{s_{1} (s_{1} - b_{1})}}, \end{matrix}

\begin{matrix} C M = \frac{b cos γ}{sin β} = \frac{c cos γ}{sin γ} = c_{1} \sqrt[]{\frac{a_{1} b_{1}}{s_{1} (s_{1} - c_{1})}} . \end{matrix}

A 280. feladatot megoldották: Devecis Mihály, Schólcz Károly, Spitzer Ödön.