Kezdőlap


Feladat:	276. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Weisz Lipót
Füzet:	1897/február, 101 - 102. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térfogat, Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1896/november: 276. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $S A B C$ az eredeti tetraëder.

Legyenek

A', B'

és

C'

a tetraëder alapéleit felező pontok;

A_{1} B_{1} C_{1}

és

S_{1}

a tetraëder lapjainak súlypontjai. E feltételek értelmében tehát:

\begin{matrix} A' A_{1} : A' S = A' S_{1} : A' A = 1 : 3 \end{matrix}

A' A_{1} S_{1}

és

A' S A

háromszögek tehát hasonlók és így

A_{1} S_{1}

párhuzamos

A S

éllel, egyszersmind:

\begin{matrix} A_{1} S_{1} : A S = 1 : 3 \end{matrix}

Hasonlóképpen bebizonyítható, hogy

B_{1} S_{1} ∥ B S

és

C_{1} S_{1} ∥ C S

.
Továbbá miután

\begin{matrix} S A' : S C' = S A_{1} : S C_{1} \end{matrix}

A_{1} C_{1}

párhuzamos

A' C'

-vel és minthogy

\begin{matrix} B A' : B C' = B C : B A \end{matrix}

A C

is párhuzamos

A' C'

-vel, miből következik, hogy

A_{1} C_{1}

párhuzamos

A C

-vel. Hasonlóképpen kimutatható, hogy

B_{1} C_{1}

párhuzamos

B C

-vel és

A_{1} B_{1}

párhuzamos

A B

-vel; tehát a súlypont tetraëder élei az eredeti tetraëder éleivel párhuzamosak, miből következik, hogy hasonlók és köbtartalmaik aránya egyenlő a megfelelő élek köbeinek arányával.

\begin{matrix} \frac{S (A B C)}{S_{1} (A_{1} B_{1} C_{1}} = {(\frac{A B}{A_{1} B_{1}})}^{3} = 3^{3} . \end{matrix}

(1)

Ha az eredeti tetraëder csúcspontjain keresztül a szemben fekvő lapokkal párhuzamos síkokat vezetünk, akkor az így keletkezett

S_{2} (A_{2} B_{2} C_{2})

tetraëdernek súlypont-tetraëderjét az eredeti

S (A B C)

tetraëder képezi és így

\begin{matrix} \frac{S_{2} (A_{2} B_{2} C_{2})}{S (A B C)} = 3^{3} \end{matrix}

(2)

Az 1) és 2) szorzata megadja a keresett arányt:

\begin{matrix} \frac{S_{2} (A_{2} B_{2} C_{2})}{S_{1} (A_{1} B_{1} C_{1})} = 3^{6} . \end{matrix}

A három tetraëder térfogatainak viszonya tehát:

\begin{matrix} 1 : 27 : 729. \end{matrix}

(Weisz Lipót, főreálisk. VIII. o. t., Pécs.)

A feladatot megoldották: ^{$^{*}$} Strasser G. Sándor. I. é. bölcsészet hallg. és Visnya Aladár I. év. bölcsészethallgató; továbbá: Bálint Béla, Berger Hugó, Devecis Mihály, Freund Antal, Friedmann Bernát, Goldstein Zsigmond, Grünhut Béla, Hofbauer Ervin, Kántor Nándor, Klein Mór, Kunsch Mátyás, Monoky Gyula, Piovarcsy Jenő, Riesz Frigyes, Schólcz Károly, Szabó István, Szigeth Gábor.

^{$^{*}$}Jegyzet. A legtöbb megfejtő szabályos tetraëdert tételez föl, pedig a feladat bármely tetraëderre vonatkozik.