Feladat:	259. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Friedmann Bernát ,  Goldstein Zsigmond ,  Goldziher Károly ,  Hofbauer Ervin ,  Kántor Nándor ,  Klein Mór ,  Riesz Frigyes ,  Szabó István.
Füzet:	1897/február, 107 - 108. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Fizikai jellegű feladatok, Szinusztétel alkalmazása, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Egyenletesen változó mozgás (Változó mozgás), Egyenesvonalú mozgás lejtőn, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1896/október: 259. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     I.) $MN$ egyenes akkor vízszintes, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle NO\text{sin}\beta =MO\text{sin}\alpha \mathrm{.}}\end{array}$ Ha $t$-vel jelöljük az időt, mely alatt a testek $M$-be, illetőleg $N$-be érkeznek, akkor: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(b-\frac{1}{2}g{t}^2\text{sin}\beta \right)\text{sin}\beta =\left(a-\frac{1}{2}g{t}^2\text{sin}\alpha \right)\text{sin}\alpha }\end{array}$ mely egyenletből: $\begin{array}{c}{\displaystyle t=\sqrt[]{\frac{2\left(a\text{sin}\alpha -b\text{sin}\beta \right)}{g\left(\text{sin}{}^2\alpha -\text{sin}{}^2\beta \right)}}}\end{array}$ továbbá $\begin{array}{c}{\displaystyle OM=\frac{b\text{sin}\alpha -a\text{sin}\beta }{\text{sin}{}^2\alpha -\text{sin}{}^2\beta }\text{sin}\beta \text{és}ON=\frac{b\text{sin}\alpha -a\text{sin}\beta }{\text{sin}{}^2\alpha -\text{sin}{}^2\beta }\text{sin}\alpha \mathrm{.}}\end{array}$ A feladat csak akkor lehetséges, ha $t$-nek valós értéke van és $\begin{array}{c}{\displaystyle OM\geqq \mathrm{0,}ON\geqq 0.}\end{array}$ e feltételek akkor teljesednek, ha: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a\text{sin}\alpha -b\text{sin}\beta }{\text{sin}{}^2\alpha -\text{sin}{}^2\beta }\geqq \mathrm{0,}\frac{b\text{sin}\alpha -a\text{sin}\beta }{\text{sin}{}^2\alpha -\text{sin}{}^2\beta }\geqq 0.}\end{array}$ Tegyük föl először, hogy $\alpha <\beta$; akkor $\text{sin}{}^2\alpha <\text{sin}{}^2\beta$. A nevező negatív, tehát szükséges, hogy a számláló legyen $\leqq 0$; $\begin{array}{c}{\displaystyle a\text{sin}\alpha -b\text{sin}\beta \leqq \mathrm{0,}b\text{sin}\alpha -a\text{sin}\beta \leqq \mathrm{0,}}\end{array}$ mely egyenlőtlenségekből kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\text{sin}\beta }{\text{sin}\alpha }\geqq \frac{a}{b}\geqq \frac{\text{sin}\alpha }{\text{sin}\beta }\mathrm{.}}\end{array}$ Tegyük föl másodszor, hogy $\alpha >\beta$, akkor kell hogy legyen: $\begin{array}{c}{\displaystyle a\text{sin}\alpha -b\text{sin}\beta \geqq \mathrm{0,}\text{és}b\text{sin}\alpha -a\text{sin}\beta \geqq 0}\end{array}$ miből $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\text{sin}\alpha }{\text{sin}\beta }\geqq \frac{a}{b}\geqq \frac{\text{sin}\beta }{\text{sin}\alpha }\mathrm{.}}\end{array}$ Ha ${\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{\text{sin}\alpha }{\text{sin}\beta }}$, akkor $OM=ON=0$, tehát a két mozgó pont egyidőben érkezik $O$-ba; ha pedig ${\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{\text{sin}\beta }{\text{sin}\alpha }}$, akkor $t=0$, tehát $AB$ egyenes vízszintes. Ha végre $\alpha =\beta$, akkor $a=b$ és $t=\frac{0}{0}$, a mi annyit mond, hogy $MN$ egyenes a mozgás egész tartalma alatt vízszintes. II.) Minthogy ezen esetben $\begin{array}{c}{\displaystyle a=\frac{1}{2}g{t}^2\text{sin}\alpha \text{és}b=\frac{1}{2}g{t}^2\text{sin}\beta }\end{array}$ kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}g{t}^2=\frac{a}{\text{sin}\alpha }=\frac{b}{\text{sin}\beta }}\end{array}$ miből $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a+b}{a-b}=\frac{\text{tg}\frac{\alpha +\beta }{2}}{\text{tg}\frac{\alpha -\beta }{2}}\mathrm{.}}\end{array}$ Ezen egyenletből $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{tg}\frac{\alpha -\beta }{2}=\frac{a-b}{a+b}\text{tg}\frac{\alpha +\beta }{2}\mathrm{.}}\end{array}$ De $\alpha +\beta +\gamma ={180}^{\circ }$ tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{tg}\frac{\alpha +\beta }{2}=\text{ctg}\frac{\gamma }{2}}\end{array}$ s így $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{tg}\frac{\alpha -\beta }{2}=\frac{a-b}{a+b}\text{ctg}\frac{\gamma }{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Ebből kiszámíthatjuk $\alpha -\beta$-t; $\alpha +\beta$-t ismerjük, tehát meghatározhatjuk $\alpha$-t és $\beta$-t.   A feladatot megoldották: Friedmann Bernát, Goldstein Zsigmond, Goldziher Károly, Grünhut Béla, Hofbauer Ervin, Kántor Nándor, Klein Mór, Riesz Frigyes, Szabó István.