Kezdőlap


Feladat:	252. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Feuer Mór , Freund Antal , Friedmann Bernát , Geist Emil , Goldstein Zsigmond , Grünhut Béla , Hofbauer Ervin , Kántor Nándor , Riesz Frigyes , Schiffer Hugó , Szabó István , Szabó Károly , Thiringer Aurél
Füzet:	1897/január, 82 - 83. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szinusztétel alkalmazása, Háromszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1896/október: 252. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Megoldás. Minthogy $b = c \frac{sin B}{sin C}$ és $a = c \frac{sin A}{sin C}$ írhatjuk, hogy:

\begin{matrix} p^{2} = c^{2} (\frac{sin^{2} B}{sin^{2} C} - \frac{sin^{2} A}{sin^{2} C}), \end{matrix}

miből

\begin{matrix} \frac{p^{2} sin^{2} C}{c^{2}} = sin^{2} B - sin^{2} A \end{matrix}

\begin{matrix} = (sin B + sin A) (sin B - sin A) \end{matrix}

\begin{matrix} = 2 sin \frac{B + A}{2} cos \frac{B - A}{2} \cdot 2 sin \frac{B - A}{2} cos \frac{B + A}{2} \end{matrix}

\begin{matrix} = sin (B + A) sin (B - A), \end{matrix}

\begin{matrix} = sin (B + A) = sin C, \end{matrix}

s így

\begin{matrix} sin (B - A) = \frac{p^{2} sin C}{c^{2}} . \end{matrix}

A megadott értékeket helyettesítve, kapjuk, hogy

B + A = 97^{\circ} 10' 50,8''

és

B - A = 14^{\circ} 21' 42,7''

s így

B = 55^{\circ} 46' 16,8''

A = 41^{\circ} 24' 34''

a = 50 c m

b = 62,5 c m

(Kántor Nándor.)

2. Megoldás. A feladatot szerkesztéssel következőképpen oldhatjuk meg:
Legyen a háromszög magassága

C D = m

, akkor

b^{2} = m^{2} + {\bar{A D}}^{2}

és

a^{2} = m^{2} + {\bar{B D}}^{2}

; a második egyenletet az elsőből kivonva:

p^{2} = b^{2} - a^{2} = {\bar{A D}}^{2} - {\bar{B D}}^{2}

. A

D

ponban

A B

-re emelt merőleges tehát a keresett

C

csúcsnak egyik geometriai helye. Hogy a

D

pontot meghatározhassuk, tekintetbe vesszük, hogy

{\bar{A D}}^{2} - {\bar{B D}}^{2} = p^{2}

és

A D + B D = c

. E két egyenletből

A D = \frac{c^{2} + p^{2}}{2 c}

és

B D = \frac{c^{2} - p^{2}}{2 c}

;

A B = c

távolságra tehát rávisszük

A D = \frac{c^{2} + p^{2}}{2 c}

darabot és az így meghatározott

D

pontban merőlegest emelünk. A

C

csúcs második geometriai helyét megkapjuk, ha

A B

oldal mint húr fölé oly körívet rajzolunk, melynek (az

A B

húrhoz tartozó) kerületi szögei egyenlők a megadott

C

szöggel. E végből

A B

-nek

O

középpontjában merőlegest emelünk, melynek egy tetszés szerinti pontjában megrajzoljuk

C

szöget;

A

ponton át az így nyert

C

szögnek egyik szárával párhuzamost rajzolunk, mely az

O

pontban emelt merőlegest - a

C

szög másik szárát -

P

-ben metszi.

P

azon körív középpontja, mely a

C

csúcs második mértani helye.

(Grünhut Béla, Pécs.)

A feladatot még megoldották: Feuer Mór, Freund Antal, Friedmann Bernát, Geist Emil, Goldstein Zsigmond, Hofbauer Ervin, Riesz Frigyes, Schiffer Hugó, Szabó István, Szabó Károly, Thieringer Aurél.