Kezdőlap


Feladat:	239. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Friedmann Bernát , Goldstein Zsigmond , Grünhut Béla , Hofbauer Ervin , Kántor Nándor , Klein Mór , Riesz Frigyes
Füzet:	1896/december, 68 - 70. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Négyszög alapú gúlák, Térfogat, Szögfüggvények a térben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1896/június: 239. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $B P = x, C Q = y, B C = c$ . A feladat értelmében:

\begin{matrix} {\bar{P Q}}^{2} = {\bar{P A}}^{2} + {\bar{A Q}}^{2} . \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} {\bar{P Q}}^{2} = c^{2} + {(x - y)}^{2} = 3 a^{2} + x^{2} - 2 x y + y^{2} \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} {\bar{P A}}^{2} = a^{2} + x^{2} \end{matrix}

(3)

\begin{matrix} {\bar{A Q}}^{2} = a^{2} + y^{2} \end{matrix}

(4)

(2)-t, (3)-at és (4)-et (1)-be téve, kapjuk, hogy

\begin{matrix} a^{2} - 2 x y = 0 \end{matrix}

miből

\begin{matrix} x y = \frac{a^{2}}{2} . \end{matrix}

(5)

A második feltétel értelmében a gúla térfogata

m^{3}

; a gúla alapja

P Q C B

trapéz, melynek területe:

\begin{matrix} t = \frac{(x + y) c}{2} = \frac{a (x + y) \sqrt[]{3}}{2}, \end{matrix}

magassága pedig az

A B C

egyenlő szárú háromszög magassága:

\begin{matrix} h = a sin 30^{\circ} = \frac{a}{2} \end{matrix}

és így a gúla térfogata:

\begin{matrix} m^{3} = \frac{(x + y) a^{2} \sqrt[]{3}}{12} \end{matrix}

miből

\begin{matrix} (x + y) = \frac{4 m^{3} \sqrt[]{3}}{a^{2}} \end{matrix}

(6)

(5) és (6) szerint

x

és

y

a következő egyenletnek gyökei:

\begin{matrix} z^{2} - \frac{4 m^{3} \sqrt[]{3}}{a^{2}} z + \frac{a^{2}}{2} = 0. \end{matrix}

Az egyenletet megoldva, kapjuk:

\begin{matrix} x = \frac{4 m^{3} \sqrt[]{3} + \sqrt[]{48 m^{6} - 2 a^{6}}}{2 a^{2}}, y = \frac{4 m^{3} \sqrt[]{3} - z \sqrt[]{48 m^{6} - 2 a^{6}}}{2 a^{2}} . \end{matrix}

A gyökök valósak, ha:

\begin{matrix} 48 m^{6} ≧ 2 a^{6} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} (4 \sqrt[]{3} m^{3} + a^{3} \sqrt[]{2}) (4 \sqrt[]{3} m^{3} - a^{3} \sqrt[]{2}) ≧ 0, \end{matrix}

a mihez szükséges, hogy :

\begin{matrix} m^{3} ≧ \frac{a^{3} \sqrt[]{2}}{4 \sqrt[]{3}} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} m^{3} ≧ \frac{a^{3} \sqrt[]{6}}{12} . \end{matrix}

\begin{matrix} m^{3} = a^{3} \frac{\sqrt[]{6}}{12}, \end{matrix}

akkor:

\begin{matrix} x = y = \frac{4 m^{3} \sqrt[]{3}}{2 a^{2}} = \frac{2 \sqrt[]{3} a^{3} \sqrt[]{6}}{12 a^{2}} = \frac{a \sqrt[]{18}}{6} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} x = y = \frac{a}{2} \sqrt[]{2} . \end{matrix}

(Riesz Frigyes, főgymn. VIII. o.t., Győr.)

A feladatot még megoldották: Friedmann Bernát, Goldstein Zsigmond, Grünhut Béla, Hofbauer Ervin, Kántor Nándor, Klein Mór.