Kezdőlap


Feladat:	238. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Friedmann Bernát , Grünhut Béla , Hofbauer Ervin , Kornis Ödön , Riesz Frigyes
Füzet:	1896/december, 67 - 68. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Menelaosz-tétel, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1896/június: 238. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük azon pontot, melyben a $D C$ egyenes a háromszög $A B$ oldalát metszi, $K$ -val. Menelaos tételét alkalmazva, kapjuk:

\begin{matrix} \frac{O H}{O A} \cdot \frac{K A}{K B} \cdot \frac{C B}{C H} = 1. \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} \frac{O H}{O A} = \frac{A H - O A}{O A}, \frac{K A}{K B} = \frac{A C}{B D} = \frac{A C}{A B}, \frac{C B}{C H} = \frac{C B}{\frac{{\bar{A C}}^{2}}{B C}} = \frac{{\bar{C B}}^{2}}{{\bar{A C}}^{2}} . \end{matrix}

Ezen értékeket (1)-be téve:

\begin{matrix} \frac{A H - O A}{O A} \cdot \frac{A C}{A B} \cdot \frac{{\bar{C B}}^{2}}{A C^{2}} = 1. \end{matrix}

(1)

vagy

\begin{matrix} \frac{A H - O A}{O A} = \frac{A B \cdot A C}{{\bar{C B}}^{2}} \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} \frac{A B \cdot A C}{B C} = A H \end{matrix}

s így (2)-ből

\begin{matrix} \frac{A H - O A}{O A} = \frac{A H}{B C} . \end{matrix}

(3)

A nevezőket eltávolítva:

\begin{matrix} A H \cdot B C - O A \cdot B C = A H \cdot O A \end{matrix}

\begin{matrix} (A H + B C) O A = A H \cdot B C \end{matrix}

miből

\begin{matrix} \frac{1}{A O} = \frac{A H + B C}{A H \cdot B C} \end{matrix}

s így végre

\begin{matrix} \frac{1}{A O} = \frac{1}{B C} + \frac{1}{A H} . \end{matrix}

(Kornis Ödön, főreálisk. VI. o.t., Pécs.)

A feladatot még megoldották: Friedmann Bernát, Grünhut Béla, Hofbauer Ervin, Riesz Frigyes.