Kezdőlap


Feladat:	234. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Bálint Béla , Berger Hugó , Feuer Mór , Freund Antal , Friedmann Bernát , Goldstein Zsigmond , Goldziher Károly , Grünhut Béla , Hofbauer Ervin , Kántor Nándor , Klein Mór , Riesz Frigyes , Szabó István , Szita István
Füzet:	1896/december, 66 - 67. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hossz, kerület, Térfogat, Szabályos tetraéder, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1896/június: 234. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a két tetraëder egy-egy éle $x$ és $y$ , akkor a feladat értelmében:

\begin{matrix} x + y = a \end{matrix}

(1)

és

\begin{matrix} \frac{x^{3}}{12} \sqrt[]{2} + \frac{y^{3}}{12} \sqrt[]{2} = b \end{matrix}

(2)

vagy

\begin{matrix} x^{3} + y^{3} = 6 b \sqrt[]{2} \end{matrix}

(3)

(3)-at osztva (1)-gyel:

\begin{matrix} x^{2} - x y + y^{2} = \frac{6 b \sqrt[]{2}}{a} \end{matrix}

(4)

(1)-et négyzetre emelve, kapjuk:

\begin{matrix} x^{2} + 2 x y + y^{2} = a^{2} \end{matrix}

(5)

Ezen egyenletet (4)-ből kivonva:

\begin{matrix} 3 x y = a^{2} - \frac{6 b \sqrt[]{2}}{a} \end{matrix}

\begin{matrix} x y = \frac{a^{2}}{3} - \frac{2 b \sqrt[]{2}}{a} \end{matrix}

(6)

(5)-ből

x y

-nak

4

-szeres szorzatát kivonva:

\begin{matrix} {(x - y)}^{2} = a^{2} - \frac{4 a^{2}}{3} + \frac{8 b \sqrt[]{2}}{a} \end{matrix}

\begin{matrix} x - y = \sqrt[]{\frac{8 b \sqrt[]{2}}{a} - \frac{a^{2}}{3}} \end{matrix}

(7)

(1) és (7)-ből végre nyerjük:

\begin{matrix} x = \frac{1}{2} (a + \sqrt[]{\frac{8 b \sqrt[]{2}}{a} - \frac{a^{2}}{3}}) \end{matrix}

\begin{matrix} y = \frac{1}{2} (a - \sqrt[]{\frac{8 b \sqrt[]{2}}{a} - \frac{a^{2}}{3}}) \end{matrix}

A feladatot megoldották: Bálint Béla, Berger Hugó, Feuer Mór, Freund Antal, Friedmann Bernát, Goldstein Zsigmond, Goldziher Károly, Grünhut Béla, Hofbauer Ervin, Kántor Nándor, Klein Mór, Riesz Frigyes, Szabó István, Szita István.