Kezdőlap


Feladat:	231. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Friedmann Bernát , Goldziher Károly , Grünhut Béla , Hofbauer Ervin , Klein Mór , Riesz Frigyes , Szabó István
Füzet:	1896/december, 64 - 65. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Koszinusztétel alkalmazása, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1896/június: 231. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $A B C$ háromszögben a derékszög $A$ -nál; az oldalakat érintő kör középpontja $O$ . Ekkor $O B C$ háromszögben:

\begin{matrix} O B C ∢ = \frac{B}{2}, O B C ∢ = 45^{\circ} - \frac{B}{2}, B O C ∢ = 135^{\circ} . \end{matrix}

A O B

háromszögből:

\begin{matrix} l : n = sin \frac{B}{2} : sin 45^{\circ} \end{matrix}

(1)

B O C

háromszögből:

\begin{matrix} m : B C = sin \frac{B}{2} : sin 45^{\circ} \end{matrix}

(2)

(1)- és (2)-ből:

\begin{matrix} l : n = m : B C \end{matrix}

miből

\begin{matrix} \frac{1}{l} = \frac{B C}{m n} \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{1}{l^{2}} = \frac{{\bar{B C}}^{2}}{m^{2} n^{2}} \end{matrix}

(3)

B O C

háromszögből továbbá:

\begin{matrix} {\bar{B C}}^{2} = m^{2} + n^{2} - 2 m n cos 135^{\circ} \end{matrix}

(4)

(4)-et (3)-ba téve:

\begin{matrix} \frac{1}{l^{2}} = \frac{m^{2} + n^{2} + m n \sqrt[]{2}}{m^{2} n^{2}} . \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} \frac{1}{l^{2}} = \frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{n^{2}} + \frac{\sqrt[]{2}}{m n} . \end{matrix}

(Szabó István, főreáliskolai VII. o. tan., Debreczen.)

A feladatot még megoldották: Friedmann Bernát, Goldziher Károly, Grünhut Béla, Hofbauer Ervin, Klein Mór, Riesz Frigyes.