Kezdőlap


Feladat:	225. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Feuer Mór , Friedmann Bernát , Fröhlich Károly , Geist Emil , Goldstein Zsigmond , Goldziher Károly , Grünhut Béla , Hofbauer Ervin , Kántor Nándor , Reif Jenő , Riesz Frigyes , Szabó István , Weisz Lipót
Füzet:	1896/november, 39 - 40. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1896/május: 225. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a befogók $a$ és $b$ , az átfogó $c$ ; úgy:

\begin{matrix} a + b = s \end{matrix}

(1)

vagy

\begin{matrix} a^{2} + 2 a b + b^{2} = s^{2} \end{matrix}

(1a)

és

\begin{matrix} a b = c m \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} = c^{2} \end{matrix}

(3)

Ezen egyenletekből meghatározhatjuk a háromszög oldalait. (3)-at és (2)-t (1a)-ba téve:

\begin{matrix} c^{2} + 2 c m = s^{2}, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} c = - m \pm \sqrt[]{m^{2} + s^{2}}, \end{matrix}

(4)

a négyzetgyök csak positív lehet, mert

c > 0

.
(2)-ből és (1)-ből következik,hogy a befogók gyökei a következő egyenletnek:

\begin{matrix} x^{2} - s x + c m = 0. \end{matrix}

(5)

Ezen egyenletet megoldva, kapjuk:

\begin{matrix} a = \frac{s}{2} + \frac{\sqrt[]{s^{2} - 4 c m}}{2} és b = \frac{s}{2} - \frac{\sqrt[]{s^{2} - 4 c m}}{2} . \end{matrix}

A szögeket a következő egyenletek határozzák meg.

\begin{matrix} sin α = \frac{m}{b}, sin β = \frac{m}{a} . \end{matrix}

(Goldziher Károly, főgymn. VII.o. t., Budapest, Gyak. főgymnasium.)

A feladatot még megoldották: Feuer Mór, Friedmann Bernát, Fröhlich Károly, Geist Emil, Goldstein Zsigmond, Grünhut Béla, Hofbauer Ervin, Kántor Nándor, Reif Jenő, Riesz Frigyes, Szabó István, Weisz Lipót.