Kezdőlap


Feladat:	220. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Friedmann Bernát , Grünhut Béla , Kántor Nándor , Reif Jenő , Szabó István , Weisz Lipót
Füzet:	1896/november, 37 - 39. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Egyenes, Terület, felszín, Síkgeometriai szerkesztések, Mértani közép, Húrnégyszögek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1896/május: 220. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ} .)$ $D E B$ és $D F C$ derékszögű háromszögek hasonlók, mert $F$ és $B$ szögek egyenlők; tehát

\begin{matrix} D B : D F = D E : D C \end{matrix}

miből

\begin{matrix} D B \times D C = D E \times D F . \end{matrix}

2^{\circ} .)

B C

fölé félkört írunk, melyhez a

B H = k

érintőt vonjuk. A

H

ponton keresztül

B C

-vel párhuzamosan vont egyenes a félkör

G

pontban metszi.

G

ponton keresztül

B H

-val párhuzamost rajzolunk, nyerjük a kívánt

D E F

merőlegest.
Bizonyítás.

D G = B H = k

. Ámde

D G

mértani középarányos

D B

és

D C

között, azaz

D B \times D C = k^{2}

. De a feladat első pontja szerint

D B \times D C = D E \times D F

, s így

D E \times D F = k^{2}

. A szerkesztés csak akkor lehetséges, ha

k ≦ \frac{B C}{2}

; az első esetben két, a másodikban egy megoldást kapunk.

3^{\circ} .)

Hogy

D E B

és

A E F

háromszögek, -melyek mindig hasonlók- egybevágók legyenek, szükséges, hogy egy-egy megfelelő oldaluk egyenlő legyen; pl.

D E = A E

; de ekkor

C A E

és

C D E

háromszögek egybevágók s így

A C = D C

. A keresett

D

pontot tehát úgy kapjuk meg, ha

C A

-t

C

pontból

C B

-re mérjük.
Ezen esetben

D E B

háromszög területe:

\begin{matrix} t = \frac{1}{2} D E \times D B, \end{matrix}

A B C

háromszög területe.

\begin{matrix} F = \frac{1}{2} (B C \times D E + A C \times A E) = \frac{1}{2} D E (B C + A C) \end{matrix}

Tehát a

D E B

és

A B C

háromszögek területeinek aránya:

\begin{matrix} \frac{t}{T} = \frac{B D}{B C + A C} = \frac{B C - C D}{B C + A C} = \frac{B C - A C}{B C + A C} . \end{matrix}

4^{\circ} .)

D E B

háromszög köré írható kör középpontja a

B E

átfogó középpontjában,

K

-ban van. Ha tehát

D

pont

B

-től

C

-ig mozog, úgy

K

pont

B

-től

K_{1}

-ig mozog;

K_{1}

B E_{1}

egyenes középpontja. Tehát a

D E B

háromszög köré írható körök középpontjainak mértani helye

B K_{1}

A E F

háromszög köré írható kör középpontja mindig

E F

felezőpontjában

L

-ben van. Ezen felezőpontok az

A

ponton átmenő

L_{1} L_{2}

egyenest határozzák meg.
A

D E A C

húrnégyszög köré írható kör középpontja az

E C

átló felezőpontja

N

. Ha

D

pont

B

-től

C

-ig mozog, akkor

E

pont

B

-ből

E_{1}

-be jut s így

C E

-nek két határhelyzete

C B

és

C E_{1}

. A négyszög köré rajzolható körök középpontjainak mértani helye az

A B

-vel párhuzamos

L_{1} N_{1}

egyenes.

(Friedmann Bernát, főgymn. VIII.o. t., S.A.-Ujhely.)

A feladatot még megoldották: Grünhut Béla, Kántor Nándor, Reif Jenő, Szabó István, Weisz Lipót.