Kezdőlap


Feladat:	218. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Feuer Mór , Friedmann Bernát , Fröhlich Károly , Goldstein Zsigmond , Grünhut Béla , Kántor Nándor , Riesz Frigyes , Schneider Béla , Szabó István
Füzet:	1896/november, 37. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszög alapú hasábok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1896/május: 218. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenlő oldalú háromszögek közül, melyeket az egymással párhuzamos síkok a hasábból kivágnak, válasszuk azt, melynek egyik csúcsa a hasábnak egy csúcsával összeesik. A másik két csúcsnak távolságát a hasáb megfelelő csúcsaitól jelöljük $x$ és $y$ -nal, az egyenlő oldalú háromszögnek egy oldalát pedig $d$ -vel. Ekkor:

\begin{matrix} x^{2} = d^{2} - a^{2} \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} y^{2} = d^{2} - b^{2} \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} {(x - y)}^{2} = d^{2} - c^{2}, \end{matrix}

(3)

mely utóbbi egyenlet még írható:

\begin{matrix} x^{2} - 2 x y + y^{2} = d^{2} - c^{2} \end{matrix}

(4)

(1)-ből és (2)-ből

x

-nek és

y

-nak értékét (4)-be téve, kapjuk:

\begin{matrix} d^{2} - a^{2} - 2 \sqrt[]{d^{2} - a^{2}) (d^{2} - b^{2})} + d^{2} - b^{2} = d^{2} - c^{2}, \end{matrix}

vagy, miután a megadott számértékeknél fogva

c^{2} = a^{2} + b^{2}

\begin{matrix} d^{2} = 2 \sqrt[]{d^{2} - a^{2}) (d^{2} - b^{2})} . \end{matrix}

(5)

Ezen egyenletnek mindkét oldalát négyzetre emelve, nyerjük:

\begin{matrix} 3 d^{4} - 4 c^{2} d^{2} + 4 a^{2} b^{2} = 0. \end{matrix}

Vagy a megadott értékeket helyettesítve:

\begin{matrix} 3 d^{4} - 100 d^{2} + 576 = 0. \end{matrix}

Ezen egyenletből

d^{2}

értékei

25,9283

és

7,4051

.
Ezek közül csak az első vehető, mert

d

-nek

5

-nél nagyobbnak kell lennie.

25,9283

-ból négyzetgyököt vonva, kapjuk, hogy az egyenlő oldalú háromszög keresett oldala:

\begin{matrix} d = 5,09 cm . \end{matrix}

(Grünhut Béla, főreálisk. VIII.o. t., Pécs.)

A feladatot megoldották: Feuer Mór, Friedmann Bernát, Fröhlich Károly, Goldstein Zsigmond, Kántor Nándor, Riesz Frigyes, Schneider Béla, Szabó István.