Kezdőlap


Feladat:	215. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Friedmann Bernát , Grünhut Béla , Szabó István
Füzet:	1896/október, 23. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térfogat, Köréírt tetraéder, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1896/május: 215. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A gömbök középpontjai egy tetraëdert határoznak meg, melynek lapjai párhuzamosak a gömbök köré írható tetraëder lapjaival. Ha kiszámítjuk a kisebbik tetraëderbe írható gömb sugarát $(ρ)$ s ehhez hozzáadjuk a megadott gömbök sugarát $(r)$ , úgy megkapjuk a nagyobbik tetraëderbe írható gömb sugarát $(R)$ ; tehát:

\begin{matrix} R = ρ + r . \end{matrix}

(1)

A tetraëderbe írható gömb sugara:

\begin{matrix} ρ = \frac{a}{12} \sqrt[]{6}, \end{matrix}

(2)

a

-val jelöljük a tetraëder élét (l. 197. feladat); de

a = 2 r

, s így

\begin{matrix} ρ = \frac{r}{6} \sqrt[]{6} \end{matrix}

\begin{matrix} R = \frac{r}{6} (6 + \sqrt[]{6}) \end{matrix}

(3)

R

sugarú gömb köré írható tetraëder éle

(b)

(2) szerint:

\begin{matrix} b = \frac{12 R}{\sqrt[]{6}} = \frac{2 r}{\sqrt[]{6}} (6 + \sqrt[]{6}) \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} b = 2 r (\sqrt[]{6} + 1) \end{matrix}

(4)

Tehát a tetraëder köbtartalma:

\begin{matrix} V = \frac{b^{3}}{12} \sqrt[]{2} = \frac{4 r^{3} {(\sqrt[]{6} + 1)}^{3}}{3 \sqrt[]{2}} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} V = \frac{r^{3}}{3} {(2 \sqrt[]{3} + \sqrt[]{2})}^{3} . \end{matrix}

(Grünhut Béla, főreálisk. VIII. o.t., Pécs.)

A feladatot még megoldották:
Friedmann Bernát, Szabó István.