Kezdőlap


Feladat:	207. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Friedmann Bernát , Galter János , Geiszt Emil , Grünhut Béla , Kántor Nándor , Oberle Károly , Szabó István , Visnya Aladár
Füzet:	1896/június, 160. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körülírt kör, Koszinusztétel alkalmazása, Kör geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1896/április: 207. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a húrok által bezárt szög $α$ , a két húr végpontjait összekötő egyenes hossza $c$ . Az így kapott háromszögből:

\begin{matrix} c^{2} = 4 a^{2} + 4 b^{2} - 8 a b cos α \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} cos α = \sqrt[]{1 - sin^{2} α} \end{matrix}

\begin{matrix} sin α = \frac{d}{a} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} cos α = \sqrt[]{\frac{a^{2} - d^{2}}{a^{2}}} \end{matrix}

(2)

ezt (1)-be téve:

\begin{matrix} c^{2} = 4 a^{2} + 4 b^{2} - 8 b \sqrt[]{a^{2} - d^{2}} \end{matrix}

(3)

A háromszög köré írt kör sugara

\begin{matrix} r = \frac{c}{2 sin α} = \frac{a c}{2 d} \end{matrix}

(4)

(4)-be (3)-at téve:

\begin{matrix} r = \frac{a}{d} \sqrt[]{a^{2} + b^{2} - 2 b \sqrt[]{a^{2} - d^{2}}} \end{matrix}

Ha a két húr által bezárt szög tompa szög, akkor:

\begin{matrix} r = \frac{a}{d} \sqrt[]{a^{2} + b^{2} + 2 b \sqrt[]{a^{2} - d^{2}}} \end{matrix}

a = d

, akkor

\begin{matrix} r = \sqrt[]{a^{2} + b^{2}} \end{matrix}

(Szabó István, főreáliskolai VI. o. t., Debreczen.)

A feladatot megoldották: Friedmann Bernát, S.-A.-Ujhely; Galter János, Sz.-Udvarhely; Geiszt Emil, Győr; Grünhut Béla, Pécs; Kántor Nándor, Budapest; Oberle Károly, Budapest; Visnya Aladár, Pécs.