Kezdőlap


Feladat:	205. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Friedmann Bernát , Galter János , Grünhut Béla , Hofbauer Ervin , Kántor Nándor , Oberle Károly , Szabó István , Visnya Aladár , Zemplén Győző
Füzet:	1896/június, 159. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Csonkakúp, Terület, felszín, Háromszögek hasonlósága, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1896/április: 205. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a metszetek sugarai a csúcstól az alap felé: $r_{1}, r_{2}, r_{3}$ ; a megfelelő oldalvonalak: $l_{1}, l_{2}, l_{3}$ ; a megfelelő magasságok: $m_{1}, m_{2}, m$ .
A feladat értelmében:

\begin{matrix} r_{1} π l_{1} = \frac{1}{3} r_{3} π l_{3} \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} r_{2} π l_{2} = \frac{2}{3} r_{3} π l_{3} \end{matrix}

(2)

mely egyenletekből:

\begin{matrix} \frac{r_{3}}{r_{1}} \cdot \frac{l_{3}}{l_{1}} = 3, \frac{r_{3}}{r_{2}} \cdot \frac{l_{3}}{l_{2}} = \frac{3}{2} \end{matrix}

(3)

A megfelelő hasonló háromszögekből következik, hogy

\begin{matrix} \frac{r_{3}}{r_{1}} = \frac{l_{3}}{l_{1}} = \frac{m}{m_{1}}, \frac{r_{3}}{r_{2}} = \frac{l_{3}}{l_{2}} = \frac{m}{m_{2}} \end{matrix}

(4)

Ezen értékeket (3)-ba téve, kapjuk:

\begin{matrix} \frac{m^{2}}{m_{1}^{2}} = 3 és \frac{m^{2}}{m_{2}^{2}} = \frac{3}{2} \end{matrix}

(5)

miből

\begin{matrix} m_{1} = \frac{m}{3} \sqrt[]{3} és m_{2} = \frac{m}{3} \sqrt[]{6} \end{matrix}

A feladatot megoldották: Friedmann Bernát, S.-A.-Ujhely; Galter János, Székely-Udvarhely; Grünhut Béla, Pécs; Hofbauer Ervin és Kántor Nándor, Budapest; Oberle Károly, VIII. o. t., Budapest, piarista főgymn; Szabó István, Debreczen; Visnya Aladár, Pécs; Zemplén Győző, Fiume.