Kezdőlap


Feladat:	204. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Friedmann Bernát , Goldstein Zsigmond , Grünhut Béla , Hofbauer Ervin , Kántor Nándor , Szabó István , Visnya Aladár , Zemplén Győző
Füzet:	1896/június, 158. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Koszinusztétel alkalmazása, Háromszögek szerkesztése, Diszkusszió, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1896/április: 204. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$A B C$ háromszögből:

\begin{matrix} a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A \end{matrix}

(1)

A E C

háromszögből:

\begin{matrix} k^{2} = b^{2} + \frac{c^{2}}{4} - b cos A \end{matrix}

(2)

E két egyenlet még így is írható:

\begin{matrix} 2 a^{2} = 2 b^{2} + 2 c^{2} - 4 b c cos A \end{matrix}

(3)

\begin{matrix} 4 k^{2} = 4 b^{2} + c^{2} - 4 b c cos A \end{matrix}

(4)

(4)-et (3)-ból kivonva:

\begin{matrix} c^{2} = 2 a^{2} + 2 b^{2} - 4 k^{2} \end{matrix}

és így

\begin{matrix} c = \sqrt[]{2 (a^{2} + b^{2} - 2 k^{2}} \end{matrix}

Az oldalakat ismerjük s így a szögek könnyen kiszámíthatók.
Szerkesztés.

A, b

és

2 k

oldalakból megszerkesztjük az

A D C

háromszöget;

D C

-t megfelezzük,

A

-t összekötjük

E

-vel,

A E

-t meghosszabbítjuk s

E

pontból még egyszer rámérjük

A E

-t, mi által

B

pontot nyerjük.

A B C

a keresett háromszög. Bizonyítás.

A C B D

négyszög egyenközény, mert átlói felezik egymást; tehát

A D = B C = a

.
A feladat nem oldható meg, ha

a, b

és

2 k

oldalakból nem szerkeszthető háromszög.

(Grünhut Béla, főreáliskolai VII. o. t., Pécs.)

A feladatot még megoldották: Friedmann Bernát, S.-A.-Ujhely; Goldstein Zsigmond Nyíregyháza; Hofbauer Ervin és Kántor Nándor, Budapest; Szabó István, Debreczen; Visnya Aladár, Pécs; Zemplén Győző, Fiume.