Kezdőlap


Feladat:	203. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Grünhut Béla , Hofbauer Ervin , Kántor Nándor
Füzet:	1896/június, 155. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Köréírt alakzatok, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Szögfüggvények a térben, Térfogat, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Trigonometrikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1896/április: 203. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a kúp alapjának sugara $R$ , a kúp magassága $m$ , azon szög, melyet a kúp oldalvonala az alap sugarával képez $α$ . Ekkor:

\begin{matrix} R = \frac{r}{tan \frac{1}{2} α}, m = R tan α = \frac{r tan α}{tan \frac{1}{2} α} \end{matrix}

A kúp köbtartalma:

\begin{matrix} V = \frac{R^{2} π m}{3} = \frac{r^{3} π}{3} \cdot \frac{tan α}{tan^{3} \frac{α}{2}} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} V = \frac{r^{3} π}{3} \cdot \frac{2}{tan^{2} \frac{α}{2} - tan^{4} \frac{α}{2}} \end{matrix}

(1)

Keressük most

\begin{matrix} y = \frac{2}{tan^{2} \frac{α}{2} - tan^{4} \frac{α}{2}} \end{matrix}

függvény legkisebb értékét.

\begin{matrix} tan^{4} \frac{α}{2} - tan^{2} \frac{α}{2} + \frac{2}{y} = 0 \end{matrix}

miből

\begin{matrix} tan^{2} \frac{α}{2} = \frac{1}{2} \pm \sqrt[]{\frac{1}{4} - \frac{2}{y}} \end{matrix}

y

-nak legkisebb értéke, mely mellett

tan^{2} \frac{α}{2}

valós,

8

. Ezt (1)-be téve, kapjuk:

\begin{matrix} V = \frac{3 r^{3} π m}{3} \end{matrix}

(2)

y

-nak legkisebb értékénél:

\begin{matrix} tan \frac{α}{2} = \frac{1}{2} \sqrt[]{2}, R = r \sqrt[]{2}, m = 4 r \end{matrix}

Tehát a legkisebb köbtartalmú kúpot akkor kapjuk, ha a kúp magassága a gömb sugarának négyszerese. Ekkor a kúp köbtartalma kétszerese a gömb köbtartalmának.

(Kántor Nándor, a budapesti ág. h. evang. főgymn. VII. o. t.)

A feladatot még megoldották: Grünhut Béla, Pécs; Hofbauer Ervin Budapest.