Kezdőlap


Feladat:	202. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Friedmann Bernát , Galter János , Geiszt Emil , Goldstein Zsigmond , Grünhut Béla , Hofbauer Ervin , Kántor Nándor , Szabó István , Visnya Aladár , Zemplén Győző
Füzet:	1896/június, 154 - 155. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Hatványösszeg, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1896/április: 202. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az egyik rész $x^{2}$ , a másik $k - x^{2}$ . Keressük tehát

\begin{matrix} y = x + \sqrt[]{k - x^{2}} \end{matrix}

függvény legnagyobb értékét. Vigyük át

x

-et a baloldalra, s emeljük az egyenlet két oldalát négyzetre:

\begin{matrix} y^{2} - 2 y x + x^{2} = k - x^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} 2 x^{2} - 2 y x + y^{2} - k = 0 \end{matrix}

miből

\begin{matrix} x = \frac{y}{2} \pm \sqrt[]{\frac{2 k - y^{2}}{4}} \end{matrix}

x

-nek csak úgy lehet reális értéke, ha

\begin{matrix} y^{2} ≦ 2 k \end{matrix}

Tehát

y^{2}

legnagyobb értéke

2 k

, s így

y

-nak legnagyobb értéke

\sqrt[]{2 k}

y

-nak ezen legnagyobb értékénél

x = \sqrt[]{\frac{k}{2}}

, s így az egyik rész

x^{2} = \frac{k}{2}

, a másik

k - x^{2} = \frac{k}{2}

.
A négyzetgyökök összege tehát akkor a legnagyobb, amikor a részek egyenlők.

A feladatot megfejtették: Friedmann Bernát, S.-A.-Ujhely; Galter János, Székely-Udvarhely; Geiszt Emil, Győr; Goldstein Zsigmond, Nyíregyháza; Grünhut Béla, Pécs; Hofbauer Ervin és Kántor Nándor, Budapest; Szabó István, Debreczen; Visnya Aladár, Pécs; Zemplén Győző, Fiume.