Kezdőlap


Feladat:	201. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Friedmann Bernát , Geiszt Emil , Goldstein Zsigmond , Grünhut Béla , Hofbauer Ervin , Kántor Nándor , Szabó István , Visnya Aladár , Weisz Herman
Füzet:	1896/június, 153 - 154. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mértani sorozat, Négyzetszámok összege, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1896/április: 201. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha az első tag $x$ , a hányados $y$ , akkor:

\begin{matrix} x (1 + y + y^{2}) = a \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} x^{2} (1 + y^{2} + y^{4}) = b \end{matrix}

(2)

(1)-et négyzetre emelve s (2)-vel osztva, kapjuk:

\begin{matrix} \frac{{(1 + y + y^{2})}^{2}}{1 + y^{2} + y^{4}} = \frac{a^{2}}{b} \end{matrix}

(3)

Ezen egyenlet baloldalának számlálóját és nevezőjét

1 + y + y^{2}

-tel osztva:

\begin{matrix} \frac{1 + y + y^{2}}{1 - y + y^{2}} = \frac{a^{2}}{b} \end{matrix}

miből

\begin{matrix} (a^{2} - b) y^{2} - (a^{2} + b) y + a^{2} - b = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} y = \frac{1}{2 (a^{2} - b)} [a^{2} + b \pm \sqrt[]{{(a^{2} + b)}^{2} - 4 {(a^{2} - b)}^{2}}] \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} y = \frac{1}{2 (a^{2} - b)} [a^{2} + b \pm \sqrt[]{(3 a^{2} - b) (3 b - a^{2})}] \end{matrix}

(4)

Hogy a haladvány első tagját kiszámíthassuk, osszuk el (2)-t (1)-gyel; ekkor kapjuk:

\begin{matrix} x (1 - y + y^{2}) = \frac{b}{a} \end{matrix}

ezt kivonva (1)-ből:

\begin{matrix} 2 x y = \frac{a^{2} - b}{a} \end{matrix}

miből

\begin{matrix} x = \frac{a^{2} - b}{2 a y} \end{matrix}

Ebbe a hányados értékét (4)-ből helyettesítve:

\begin{matrix} x = \frac{1}{4 a} [a^{2} + b \mp \sqrt[]{(3 a^{2} - b) (3 b - a^{2})}] \end{matrix}

(5)

A haladvány második és harmadik tagja lesz:

\begin{matrix} \frac{a^{2} - b}{2 a}, \frac{1}{4 a} [a^{2} + b \pm \sqrt[]{(3 a^{2} - b) (3 b - a^{2})}] \end{matrix}

A feladatot megoldották: Friedmann Bernát, főgymn. VII. o. t., Sátor-Alja-Ujhely; Geiszt Emil, főr. VII. o. t., Győr; Goldstein Zsigmond, főgymn. VII. o.t., Nyíregyháza; Grünhut Béla, főr. VII. o.t., Pécs, Hofbauer Ervin és Kántor Nándor, ág. h. evang. főgymn. VII. o. t., Budapest; Szabó István főr. VI. o. t., Debreczen; Visnya Aladár, főr. VIII. o. t., Pécs; Weisz Herman, főgymn. VI. o. t., S-A-Ujhely.