Kezdőlap


Feladat:	198. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Friedmann Bernát , Grünhut Béla , Hofbauer Ervin , Suschnik József , Visnya Aladár
Füzet:	1896/május, 142 - 143. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Beírt gömb, Beírt tetraéder, Térfogat, Köréírt gömb, Mértani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1896/február: 198. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . Ha $r, r_{1}, r_{2}, r_{3}, ... r_{n}$ az egymásra következő gömbök sugarai, úgy a 197. feladat értelmében:

\begin{matrix} r_{1} = \frac{r}{3}, r_{2} = \frac{r_{1}}{3} = {(\frac{1}{3})}^{2} r, ... r_{n} = {(\frac{1}{3})}^{n} r . \end{matrix}

S miután a gömbök térfogatai egyenes arányban állanak sugaraik köbével, következik, hogy

\begin{matrix} V_{1} = \frac{1}{27} V, V_{2} = {(\frac{1}{27})}^{2} V, ... V_{n} = {(\frac{1}{27})}^{n} V . \end{matrix}

A gömbök térfogatai tehát oly végtelen mértani haladványt képeznek, melynek első tagja

V .

, s hányadosa

\frac{1}{27}

; a gömbök térfogatainak összege tehát lesz:

\begin{matrix} \frac{V}{1 - \frac{1}{27}} = \frac{27}{26} V . \end{matrix}

2^{\circ}

A 197. feladat értelmében a tetraëder köré írható gömb sugara:

\begin{matrix} r = \frac{a}{4} \sqrt[]{6} \end{matrix}

miből

\begin{matrix} a = r \sqrt[]{\frac{8}{3}} \end{matrix}

(1)

Tehát az első tetraëder térfogata:

\begin{matrix} K = \frac{8 r^{3}}{9 \sqrt[]{3}} \end{matrix}

(2)

Minthogy a gömbökbe írt szabályos tetraëderek térfogata egyenes arányban állanak a gömbök térfogataival, következik, hogy az egymásután következő tetraëderek oly végtelen mértani haladványt képeznek, melynek első tagja

K

, hányadosa

\frac{1}{27}

. A tetraëderek térfogatainak összege tehát lesz:

\begin{matrix} \frac{8 r^{3}}{9 \sqrt[]{3}} \frac{27}{26} = \frac{12 r^{3}}{13 \sqrt[]{3}} \end{matrix}

(3)

\begin{matrix} V = \frac{4}{3} r^{3} π, s így r^{3} = \frac{3 V}{4 π} \end{matrix}

(4)

(4)-et (3)-ba téve, kapjuk:

\begin{matrix} \frac{12 \cdot 3 V}{13 \cdot 4 \cdot π \sqrt[]{3}} = \frac{3 V \sqrt[]{3}}{13 π} \end{matrix}

(Suschnik József, főreáliskolai VIII. o.t., Kecskemét.)

A feladatot még megoldották: Friedmann Bernát,S.-A.-Ujhely; Hofbauer Ervin, Budapest; Grünhut Béla és Visnya Aladár, Pécs.