Feladat:	197. matematika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Friedmann Bernát ,  Grünhut Béla ,  Hofbauer Ervin ,  Suschnik József ,  Visnya Aladár
Füzet:	1896/május, 140 - 141. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Beírt gömb, Térfogat, Szabályos tetraéder, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1896/február: 197. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Első megoldás.   A magasságok metszési pontja egyenlő távolságban van a tetraëder csúcsaitól, valamint a lapoktól is, miért is ezen pont középpontja azon gömböknek, melyek a tetraëderbe és a tetraëder köré írhatók. Ha e pontot a tetraëder csúcsaival összekötjük, úgy négy egyenlő köbtartalmú gúlát nyerünk, melyeknek alapja a tetraëdernek egy-egy oldallapja, magassága a beírható gömb sugara. A tetraëder köbtartalma: $\begin{array}{c}{\displaystyle V=\frac{a^3}{12}\sqrt[]{2}}\end{array}$ (1) Tehát egy gúla köbtartalma: $\begin{array}{c}{\displaystyle v=\frac{a^3}{48}\sqrt[]{2}}\end{array}$ (2) A tetraëder egy oldallapjának a területe: $\begin{array}{c}{\displaystyle t=\frac{a^2}{4}\sqrt[]{3}}\end{array}$ (3) s így egy gúla magassága, mely egyúttal a beírt gömb sugara: $\begin{array}{c}{\displaystyle r=\frac{a}{4}\sqrt[]{\frac{2}{3}}=\frac{a}{12}\sqrt[]{6}}\end{array}$ (4) A tetraëder köré írt gömb sugarát megkapjuk, ha a beírt gömb sugarát a tetraëder magasságából kivonjuk; a tetraeder magassága: $a\sqrt[]{\frac{2}{3}}$, s így $\begin{array}{c}{\displaystyle R=a\sqrt[]{\frac{2}{3}}-\frac{a}{4}\sqrt[]{\frac{2}{3}}=\frac{3a}{4}\sqrt[]{\frac{2}{3}}=\frac{a}{4}\sqrt[]{6}}\end{array}$ (5) (Hofbauer Ervin, főgymn.VII. o.t., Budapest, ág. h. ev. főgymn.)   Második megoldás.   A tetraëder köré írható gömb sugara $R=O{A}_1$, a tetraëderbe írható gömb sugara $OB=r;$ $O$ a magasságok metszési pontja.     A tetraëder magassága: $a\sqrt[]{\frac{2}{3}}$; tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle A_{1}B=a\sqrt[]{\frac{2}{3}}=A_{1}O+OB=R+r}\end{array}$ (1) Minthogy $A_{3}BD$ és $A_{1}CO$ háromszögek hasonlók, következik, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle A_{1}O:A_{1}D=OC:BD}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle R:A_{1}D=r:\frac{A_{1}D}{3}}\end{array}$ s így $\begin{array}{c}{\displaystyle R=3r}\end{array}$ (2) (1)-ből és (2)-ből kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle R=\frac{3a}{4}\sqrt[]{\frac{2}{3}}\mathrm{,}r=\frac{a}{4}\sqrt[]{\frac{2}{3}}}\end{array}$ (Suschnik József, főreáliskolai VIII. o.t., Kecskemét.)   A feladatot még megoldották: Friedmann Bernát,S.-A.-Ujhely; Grünhut Béla és Visnya Aladár, Pécs.