Kezdőlap


Feladat:	195. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Friedmann Bernát , Geist Emil , Goldstein Zsigmond , Grünhut Béla , Hofbauer Ervin , Kántor Nándor , Krausz Mihály , Messinger Ábrahám , Suschnik József , Visnya Aladár
Füzet:	1896/május, 138 - 139. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenes körkúpok, Terület, felszín, Térfogat, Köréírt tetraéder, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1896/február: 195. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kúp köbtartalma:

\begin{matrix} V = r^{2} π \frac{m}{3}, vagy 3 V = r^{2} π m \end{matrix}

(1)

Az egyenlőoldalú gúla magassága:

m = r \sqrt[]{3}

és így

\begin{matrix} 3 V = r^{3} π \sqrt[]{3} \end{matrix}

(2)

miből

\begin{matrix} r = \sqrt[3]{\frac{V \sqrt[]{3}}{π}} \end{matrix}

(3)

Ismervén az alapkör sugarát, kiszámíthatjuk a gúla alapjának területét. Ha a gúla egyik alapéle

a

, úgy

\begin{matrix} a = 2 r \sqrt[]{3} \end{matrix}

(4)

Tehát az alap területe:

\begin{matrix} t_{1} = 3 r^{2} \sqrt[]{3} \end{matrix}

(5)

A gúla köbtartalma tehát lesz:

\begin{matrix} K = 3 r^{3} = \frac{3 V \sqrt[]{3}}{π} \end{matrix}

(6)

Hogy a gúla fölületét kiszámíthassuk, meg kell még határoznunk az oldallapok területét. Az oldallapok alapja

a

, magassága a kúp oldalvonala, tehát

2 r

, s így egy oldalháromszög területe

\begin{matrix} t_{2} = 2 r \sqrt[]{3} \cdot r = 2 r^{2} \sqrt[]{3} \end{matrix}

(7)

A gúla összes fölülete tehát lesz:

\begin{matrix} F = 3 r^{2} \sqrt[]{3} + 6 r^{2} \sqrt[]{3} = 9 r^{2} \sqrt[]{3} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} F = 9 \sqrt[]{3} \sqrt[3]{\frac{3 V^{2}}{π^{2}}} \end{matrix}

(8)

(Grünhut Béla, főreál.VII. o.t., Pécs.)

Jegyzet. Számítsuk ki még a kúp tengelymetszetének területét; az alap

2 r

, a magasság

r \sqrt[]{3}

, s így:

\begin{matrix} t_{3} = r^{2} \sqrt[]{3} \end{matrix}

(9)

(5)-öt, (7)-et és (9)-et összehasonlítva, látjuk, hogy a kúp tengelymetszetének, a gúla egy oldallapjának és alapjának a területei úgy aránylanak, mint

1 : 2 : 3;

vagyis

\begin{matrix} t_{3} : t_{2} : t_{1} = 1 : 2 : 3 \end{matrix}

(10)

A feladatot még megoldották: Friedmann Bernát, S.A.-Ujhely; Geist Emil, Győr; Hofbauer Ervin és Kántor Nándor, Budapest; Krausz Mihály, főreál. VIII. o. t., Budapest, II. ker.; Messinger Ábrahám, S.-A.-Ujhely; Suschnik József, Kecskemét; Visnya Aladár, Pécs; Goldstein Zsigmond, Nyíregyháza.