Kezdőlap


Feladat:	191. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Friedmann Bernát , Grünhut Béla , Hofbauer Ervin , Kántor Nándor , Szabó István , Visnya Aladár
Füzet:	1896/május, 134 - 135. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Derékszögű háromszögek geometriája, Mértani közép, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1896/február: 191. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A B C$ háromszögben, mely $C$ -nél derékszögű, legyen: $A B = c, A C = b, C B = a .$ A magasság az átfogót $D$ pontban metszi. Legyen végre az egyik szelet $B D = x$ , a másik szelet $D A = y$ .
Minthogy a befogó mértani középarányosa az átfogónak és a befogó mellett fekvő szeletnek, írhatjuk:

\begin{matrix} a^{2} = c x, b^{2} = c y \end{matrix}

(1)

miből

\begin{matrix} a^{2} : b^{2} = x : y \end{matrix}

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} : a^{2} - b^{2} = x + y : x - y \end{matrix}

\begin{matrix} c^{2} : (a + b) d = c : e \end{matrix}

miből

\begin{matrix} (a + b) d = c e \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{a + b}{c} = \frac{e}{d} \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} \frac{a + b}{c} = sin α + cos α = \frac{cos (a - 45^{\circ})}{sin 45^{\circ}} \end{matrix}

(3)

(2)-ből és (3)-ból tehát kapjuk:

\begin{matrix} cos (a - 45^{\circ}) = \frac{e sin 45^{\circ}}{d} \end{matrix}

(4)

miből

α - 45^{\circ} = 32^{\circ} 19' s így α = 77^{\circ} 19'

.
Miután a szögeket ismerjük, az oldalakat már könnyen kiszámíthatjuk. Miután

\begin{matrix} a = b tan α és a - b = d \end{matrix}

kapjuk:

\begin{matrix} d = b (tan a - 1) \end{matrix}

miből

\begin{matrix} b = \frac{d}{tan α - 1} \end{matrix}

(5)

\begin{matrix} tan α - 1 = \frac{sin α - cos α}{cos α} = \frac{sin (α - 45^{\circ})}{cos α cos 45^{\circ}} \end{matrix}

(6)

s így

\begin{matrix} b = \frac{d cos α \cdot cos 45^{\circ}}{sin (α - 45^{\circ})} \end{matrix}

miből

\begin{matrix} b = 9 \end{matrix}

S miután

a - b = d

, kapjuk:

\begin{matrix} a = b + d = 40 \end{matrix}

\begin{matrix} c = \sqrt[]{a^{2} + b^{2}} = 41 \end{matrix}

Tehát a háromszög oldalai:

a = 40 c m, b = 9 c m ., c = 41 c m .

(Visnya Aladár, főreálisk.VIII.o.t., Pécs.)

A feladatot még megoldották: Hofbauer Ervin és Kántor Nándor, Budapest; Szabó István, Debreczen; Friedmann Bernát, S.A.-Ujhely; Grünhut Béla, Pécs.