Feladat:	187. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Adonyi Dénes ,  Friedmann Bernát ,  Geist Emil ,  Goldstein Zsigmond ,  Grünhut Béla ,  Hofbauer Ervin ,  Kántor Nándor ,  Messinger Ábrahám ,  Visnya Aladár ,  Weisz Hermann
Füzet:	1896/május, 129 - 131. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Nevezetes azonosságok, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1896/február: 187. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[3]{x+a}-\sqrt[3]{x-a}=b}\end{array}$ (1) Első megoldás. Az egyenlet két oldalát köbre emelve, kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle x+a-3\sqrt[3]{{\left(x+a\right)}^2}\sqrt[3]{x-a}+3\sqrt[3]{x+a}\sqrt[3]{x-a{)}^2}-x+a=b^3}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle 3\sqrt[3]{\left(x+a\right)\left(x^2-a^2\right)}-3\sqrt[3]{\left(x-a\right)\left(x^2-a^2\right)}=2a-b^3}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle 3\sqrt[3]{x^2-a^2}\left[\sqrt[3]{x+a}-\sqrt[3]{x-a}\right]=2a-b^3}\end{array}$ (2) a zárójelben álló kifejezés (1) szerint $b$-vel egyenlő, s így: $\begin{array}{c}{\displaystyle 3b\sqrt[3]{x^2-a^2}=2a-b^3}\end{array}$ Ezen egyenlet mindkét oldalát ismét köbre emelve: $\begin{array}{c}{\displaystyle 27b^3\left(x^2-a^2\right)={\left(2a-b^3\right)}^3}\end{array}$ miből $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2=\frac{{\left(2a-b^3\right)}^3}{27b^3}+a^2}\end{array}$ (3) (Visnya Aladár, főreálisk. VIII. o. t., Pécs.)   Jegyzet. A (3) alatti kifejezés még így is írható: $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2=\frac{8a^3+15a^2{b}^3+6a{b}^6-b^9}{27b^3}}\end{array}$ (4) A számláló $a+b^3$ kifejezéssel osztható, mert $a$ helyébe $\left(-b^3\right)$-t téve, a számláló nulla lesz; így tehát kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle 8a^3+15a^2{b}^3+6a{b}^6-b^9=\left(a+b^3\right)\left(8a^2+7a{b}^3-b^6\right)}\end{array}$ s minthogy $\begin{array}{c}{\displaystyle 8a^2+7a{b}^3-b^6=\left(a+b^3\right)\left(8a-b^3\right)}\end{array}$ kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2=\frac{{\left(a+b^3\right)}^2\left(8a-b^3\right)}{27b^3}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle x=\pm \left(a+b^3\right)\sqrt[]{\frac{8a-b^3}{27b^3}}}\end{array}$   Második megoldás. A megadott egyenlet így is írható: $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[3]{x+a}=b+\sqrt[3]{x-a}}\end{array}$ (1) ezen egyenletnek mindkét oldalát köbre emelve s az egyenletet rendezve, kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle 3b{\left(\sqrt[3]{x-a}\right)}^2+3b^2\sqrt[3]{x-a}+b^3-2a=0}\end{array}$ (2) ezen egyenlet $\sqrt[3]{x-a}$-ra nézve másodfokú, s így: $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[3]{x-a}=\frac{-3b^2\pm \sqrt[]{24ab-3b^4}}{6b}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle x={\left[-\frac{b}{2}\pm \sqrt[]{\frac{8a-b^2}{12b}}\right]}^3+a}\end{array}$ (3) (Geist Emil, főreáliskolai VII. o. t., Győr.)   Jegyzet. Ha a zárójelben álló kifejezést köbre emeljük, könnyen nyerjük, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle x=\pm \frac{8b^3+8a}{12b}\sqrt[]{\frac{8a-b^3}{12b}}}\end{array}$ vagy $\begin{array}{c}{\displaystyle x=\pm \left(a+b^3\right)\sqrt[]{\frac{8a-b^3}{27b^3}}}\end{array}$   A feladatot még megoldották: Adonyi Dénes, főgymn. VII. o. t., S.-A.-Ujhely, Friedmann Bernát, főgymn. VII. o. t., S.-A.-Ujhely, Goldstein Zsigmond, főgymn. VII. o. t., Nyíregyháza; Grünhut Béla, főreál. VII. o. t., Pécs; Hofbauer Ervin és Kántor Nándor, főgymn. VII. o. t., Budapest; Messinger Ábrahám főgymn. VII. o. t. és Weisz Hermann főgymn. VI. o. t., S.-A.-Ujhely.