Kezdőlap


Feladat:	182. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Friedmann Bernát , Galter János , Goldberger Leó , Grünhut Béla , Hofbauer Ervin , Pósch Gyula , Szabó Gusztáv , Visnya Aladár
Füzet:	1896/április, 110 - 111. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Fizikai jellegű feladatok, Egyenes körkúpok, Térfogat, Úszás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1896/január: 182. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A kúp súlya egyenlő a kiszorított víz súlyával, tehát:

\begin{matrix} \frac{1}{3} π s {(m + x)}^{3} tg^{2} \frac{1}{2} α = \frac{1}{3} π x [{(m + x)}^{2} tg^{2} \frac{1}{2} α + m^{2} tg^{2} \frac{1}{2} α + + m (m + x) tg^{2} \frac{1}{2} α] \end{matrix}

(1)

miből

\begin{matrix} {(m + x)}^{3} \cdot s = {(m + x)}^{3} - m^{3} \end{matrix}

\begin{matrix} {(m + x)}^{3} = \frac{m^{3}}{1 - s} \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} x = m [\sqrt[3]{\frac{1}{1 - s}} - 1] \end{matrix}

(3)

A kúp súlya

\begin{matrix} Q = \frac{{(m + x)}^{3} π s tg^{2} \frac{1}{2} α}{3} \end{matrix}

(4)

(4)-be (2)-őt téve, kapjuk:

\begin{matrix} Q = \frac{π m^{3} s}{3 (1 - s)} tg^{2} \frac{1}{2} α \end{matrix}

(Galter János, főgymn. VIII. o. t., Sz-Udvarhely.)

II. megoldás. Jelöljük

V

-vel az egész kúp térfogatát,

V_{1}

-gyel a vízbe merült rész térfogatát, akkor:

\begin{matrix} V : V_{1} = 1 : s \end{matrix}

(5)

miből

\begin{matrix} V : (V - V_{1}) = 1 : (1 - s) \end{matrix}

(6)

V - V_{1}

a vízből kiálló kúp térfogata; ennek térfogatához pedig az egész kúp térfogata úgy aránylik, mint a megfelelő magasságok köbei; tehát

\begin{matrix} M^{3} : m^{3} = 1 : (1 - s) \end{matrix}

(7)

miből

\begin{matrix} M = \frac{m}{\sqrt[3]{1 - s}} \end{matrix}

(8)

s ebből

\begin{matrix} x = M - m = m [\sqrt[3]{\frac{1}{1 - s}} - 1] \end{matrix}

(9)

(Friedmann Bernát, főgymn. VII. o. t., S.-A.-Ujhely).

A feladatot még megoldották: Szabó Gusztáv, Győr; Hofbauer Ervin és Pósch Gyula, Budapest; Goldberger Leó, Grünhut Béla és Visnya Aladár, Pécs.