Kezdőlap


Feladat:	181. matematika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Fleischmann László , Friedmann Bernát , Geiszt Emil , Goldberger Leó , Grünhut Béla , Hofbauer Ervin , Kántor Nándor , Krausz Mihály , Pósch Gyula , Schiller Jenő , Szabó Gusztáv , Szabó István , Visnya Aladár
Füzet:	1896/április, 109 - 110. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenes körkúpok, Terület, felszín, Csonkakúp, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Háromszögek hasonlósága, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1896/január: 181. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az egész kúp alkotója $L$ , a csonka kúpé $l$ , a kiegészítő kúpé $l_{1}$ ez utóbbi magassága $x$ ; könnyen kimutatható, hogy

\begin{matrix} L = R \sqrt[]{5} \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} l_{1} = r \sqrt[]{5} \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} x = 2 r \end{matrix}

(3)

\begin{matrix} l = (L - l_{1}) = (R - r) \sqrt[]{5} \end{matrix}

(4)

A kúp két részének felületei egyenlők tehát:

\begin{matrix} R^{2} π + (R + r) π l = r π l_{1} \end{matrix}

(5)

miből kapjuk, hogy

\begin{matrix} r = \frac{R}{10} \sqrt[]{10 (5 + \sqrt[]{5})} \end{matrix}

(6)

\begin{matrix} x = \frac{R}{5} \sqrt[]{10 (5 + \sqrt[]{5})} \end{matrix}

(7)

Hofbauer Ervin, a budapesti ág. h. ev. főgymn. VII. o. t.)

Jegyzet. A mi

x

-nek a megszerkesztését illeti, figyelembe kell vennünk, hogy

\begin{matrix} x = R \frac{\sqrt[]{10 + 2 \sqrt[]{5}}}{5} = \frac{R}{\frac{1}{4} \sqrt[]{10 - 2 \sqrt[]{5}}} = \frac{R}{sin 36^{\circ}}; \end{matrix}

x

tehát oly derékszögű háromszög átfogója, melynek egyik hegyes szöge

36^{\circ}

, az ezzel szemben fekvő befogó pedig az adott kúp alapjának a sugara.

Friedmann Bernát, főgymn. VII. o. t., S.-A.-Ujhely).

A feladatot még megoldották: Szabó István, Debrecezen; Fleischmann László, Kántor Nándor, Krausz Mihály és Pósch Gyula, Budapest; Geist Emil, Schiller Jenő és Szabó Gusztáv, Győr; Goldberger Leó, Grünhut Béla és Visnya Aladár, Pécs.