Kezdőlap


Feladat:	174. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Friedmann Bernát , Grünhut Béla , Kohn Márkus , Mayer Miksa , Visnya Aladár
Füzet:	1896/február, 84 - 86. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1895/december: 174. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az első egyenletből

\begin{matrix} α = \frac{a α + b}{c α + d} \end{matrix}

és

\begin{matrix} β = \frac{a β + b}{c β + d} \end{matrix}

s így tehát

\begin{matrix} y - α = \frac{a z + b}{c z + d} - \frac{a α + b}{c α + d} \end{matrix}

és

\begin{matrix} y - β = \frac{a z + b}{c z + d} - \frac{a β + b}{c β + d} \end{matrix}

vagy közös nevezőre hozva:

\begin{matrix} y - α = \frac{(c α + d) (a z + b) - (a α + b) (c z + d)}{(c z + d) (c α + d)} = \frac{(a d - b c) (z - α)}{(c z + d) (c α + d)} \end{matrix}

\begin{matrix} y - β = \frac{(c β + d) (a z + b) - (a β + b) (c z + d)}{(c z + d) (c β + d)} = \frac{(a d - b c) (z - β)}{(c z + d) (c β + d)} \end{matrix}

miből végre

\begin{matrix} \frac{y - α}{y - β} = \frac{c β + d}{c α + d} \cdot \frac{z - α}{z - β} \end{matrix}

s így tehát

\begin{matrix} k = \frac{c β + d}{c α + d} \end{matrix}

Minthogy az (1) alatti egyenlet a következő alakra hozható

\begin{matrix} c x^{2} - (a - d) x - b = 0 \end{matrix}

a gyökök a következők:

\begin{matrix} α = \frac{(a - d) + \sqrt[]{{(a - d)}^{2} + 4 b c}}{2 c} \end{matrix}

\begin{matrix} β = \frac{(a - d) - \sqrt[]{{(a - d)}^{2} + 4 b c}}{2 c} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} c α + d = \frac{1}{2} (a + d + \sqrt[]{{(a + d)}^{2} + 4 (b c - a d)}) \end{matrix}

\begin{matrix} c β + d = \frac{1}{2} (a + d - \sqrt[]{(a + d) + 4 (b c - a d)}) \end{matrix}

s így

\begin{matrix} k = \frac{c β + d}{c α + d} = \frac{(a + d) - \sqrt[]{{(a + d)}^{2} + 4 D}}{(a + d) + \sqrt[]{{(a + d)}^{2} + 4 D}} \end{matrix}

hol

\begin{matrix} D = (b c - a d) \end{matrix}

k

ezen utóbbi alakjából látjuk, hogy a (3) alatti alakra csak úgy hozható a (2) alatti egyenlet, ha

\begin{matrix} D ≶ 0. \end{matrix}

(Grünhut Béla, főreálisk. VII. o. t. Pécs.)

A feladatot még megoldották: Friedmann Bernát, S.-A.-Ujhely; Kohn Márkus, Pécs; Mayer Miksa, Budapest és Visnya Aladár, Pécs.