Feladat:	173. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Friedmann Bernát ,  Grünhut Béla ,  Kohn Márkus ,  Mayer Miksa ,  Suschnik József ,  Szabó Gusztáv ,  Visnya Aladár
Füzet:	1896/február, 83 - 84. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Szimmetrikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1895/december: 173. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Első megoldás. Ezen utóbbi egyenlőség még a következő alakban is írható: $\begin{array}{c}{\displaystyle x^4+y^4+z^4-\left\{{\left(x^2-y^2\right)}^2+{\left(y^2-z^2\right)}^2+{\left(z^2-x^2\right)}^2\right\}=0}\end{array}$ (1) vagy egyszerűsítve $\begin{array}{c}{\displaystyle x^4+y^4-2x^2{y}^2-2x^2{z}^2-2y^2{z}^2+z^4=0}\end{array}$ (2) Minthogy ez utóbbi egyenlet baloldala a következő szorzat alakjában írható: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(x^3+y^3-x^{2}y-x^{2}z+2xyz-y^{2}z-x{y}^2-y{z}^2-x{z}^2+z^3\right)\left(x+y+z\right)}\end{array}$ (3) látjuk, hogy az $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(x+y+z\right)=0}\end{array}$ egyenlőség tényleg maga után vonja az (1) alatti egyenlőség helyességét is.   (Mayer Miksa VIII. o. tanuló, Budapest)   Második megoldás. Az $\begin{array}{c}{\displaystyle x+y+z=0}\end{array}$ egyenlőség még a következő alakra hozható: $\begin{array}{c}{\displaystyle x+y=-z}\end{array}$ (1) Emeljük az egyenlet mindkét oldalát négyzetre, ekkor a következő egyenletet kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2+2xy+y^2=z^2}\end{array}$ vagy $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2+y^2-z^2=-2xy}\end{array}$ (2) Ezen egyenlettel a fentebbi műveletet ismételve lesz továbbá $\begin{array}{c}{\displaystyle x^4+2x^2{y}^2+y^4-2x^2{z}^2-2y^2{z}^2+z^4=4x^2{y}^2}\end{array}$ vagy $\begin{array}{c}{\displaystyle x^4+y^4+z^4-2x^2{y}^2-2x^2{z}^2-2y^2{z}^2=0}\end{array}$ mely, mint az előbbi megoldásból látható, tényleg egyenértékű a következővel: $\begin{array}{c}{\displaystyle x^4+y^4+z^4-\left\{{\left(x^2-y^2\right)}^2+{\left(y^2-z^2\right)}^2+{\left(z^2-x^2\right)}^2\right\}=0}\end{array}$   (Kohn Márkus, főreálisk. VI. o. tanuló, Pécsett.)   A feladatot még megoldották: Friedmann Bernát, S.-A.-Ujhely; Grünhut Béla, Pécs; Suschnik József, Kecskemét; Szabó Gusztáv, Győr és Visnya Aladár, Pécs.