Feladat: 171. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Friedmann Bernát ,  Goldschmied Áron ,  Grünhut Béla ,  Suschnik József ,  Visnya Aladár 
Füzet: 1896/február, 87 - 88. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háromszögek egybevágósága, Középvonal, Diszkusszió, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1895/december: 171. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első eset.
 
Legyen az ABC és A'B'C' háromszögekben, melyekben DD' a BC és B'C' oldalak felező pontjai:
AB=A'B'
BC=B'C'
AD=A'D'

Az ABD és A'B'D' háromszögek egybevágók, mert oldalaik páronkint egyenlők. Tehát
ABDszög=ABCszög=Bszög=
=A'B'D'szög=A'B'C'szög=B'szög,
s így tehát az
AB=A'B'
BC=B'C'
B=B'
egyenlőségek alapján
ABC≅A'B'C'.
 
Második eset.
 
Legyen másodszor ugyanazon háromszögekben mint az előbb
AB=A'B'
AC=A'C'
AD=A'D'
s húzzunk a B és B' pontokból párhuzamosakat az AD illetőleg A'D' egyenesekkel, míg az AC illetőleg A'C' egyeneseket az E ill. E' pontokban metszik.
Bebizonyítjuk, hogy ABE és A'B'E' háromszögek egybevágók. Ugyanis
AB=A'B'
BE=B'E'
AE=A'E'
mert a CDA és CBE, valamint a C'D'A' és C'B'E' háromszögek hasonlóságából következik, hogy
BE=2AD
B'E'=2A'D'
tehát
BE=B'E'
és
AE=AC
A'E'=A'C'
tehát
AE=A'E'
De ha
ABE≅A'B'D'
akkor
EABszög=E'A'B'szög
és
CABszög=C'A'B'szög
s így tehát az
ABC≅A'B'C'
mert
AB=A'B'
AC=A'C'
A=A'

(Suschnik József, főreálisk. VIII. o. tanuló, Kecskemét.)

 
A feladatot még megoldották: Friedmann Bernát, S.-A.-Ujhely; Grünhut Béla, Pécs; Goldschmied Áron, Győr és Visnya Aladár, Pécs.