Kezdőlap


Feladat:	167. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Böhm Ottó , Friedmann Bernát , Grünhut Béla , Pósch Gyula , Visnya Aladár
Füzet:	1896/január, 69. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Csonkakúp, Hossz, kerület, Térfogat, Háromszögek hasonlósága, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1895/november: 167. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelelje $R$ az alapkör, $r$ a fedőkör sugarát, és legyen $(a b) = 2 ζ$ ; ekkor az $a b D C$ csonkakúp térfogata:

\begin{matrix} \frac{x π}{3} (r^{2} + r ζ + ζ^{2}) \end{matrix}

és ez feltevés szerint fele a csonkakúp térfogatának, az

\begin{matrix} \frac{m π}{3} (R^{2} + R r + r^{2}) \end{matrix}

-nek. E két kifejezésből kiszámítható

x

-nek értéke:

\begin{matrix} 2 x = \frac{m (R^{2} + R r + r^{2})}{r^{2} + r ζ + ζ^{2}} \end{matrix}

De másrészt azonban, mint az hasonló háromszögek segélyével bizonyítható:

\begin{matrix} x = \frac{m (ζ - r)}{R - r} \end{matrix}

mely kifejezéseiből az

x

-nek következik, hogy:

\begin{matrix} \frac{R^{2} + R r + r^{2}}{r^{2} + r ζ + ζ^{2}} = 2 \frac{ζ - r}{R - r} \end{matrix}

A nevezők eltávolítása után a következő egyenleteket nyerjük:

\begin{matrix} R^{3} + R r^{2} + R r^{2} - R r^{2} - R r - r^{3} = 2 r^{2} ζ + 2 r ζ^{2} + 2 r ζ^{2} - 2 r^{2} ζ - 2 r ζ^{2} - 2 r^{3} \end{matrix}

\begin{matrix} R^{3} + r^{3} = 2 ζ^{3} \end{matrix}

miből végre a keresett

ζ

alakja a következő lesz:

\begin{matrix} ζ = \sqrt[3]{\frac{R^{3} + r^{3}}{2}} \end{matrix}

(Bőhm Ottó, ev. főgymn. VIII. o. t. Bpest).

A feladatot még megoldották: Friedmann Bernát, S.-A.-Ujhely; Grünhut Béla, Pécs; Pósch Gyula, Budapest; Visnya Aladár, Pécs.