Kezdőlap


Feladat:	161. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Grünhut Béla , Visnya Aladár , Weisz Lipót
Füzet:	1895/december, 55 - 57. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Súlypont, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Négyzetszámok összege, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Transzverzálisok, Alakzatok hasonlósága, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1895/október: 161. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ Húzzuk meg a kis körben $A O Q$ átmérőt. Ekkor az $A P Q$ derékszögű háromszögben

\begin{matrix} 4 r^{2} = A P^{2} + P Q^{2} \end{matrix}

De minthogy

\begin{matrix} P Q = P C - Q C = P C - B P \end{matrix}

s így tehát

\begin{matrix} 4 r^{2} = P A^{2} + P B^{2} + P C^{2} C - 2 P B \times P C \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} P A^{2} + P B^{2} + P C^{2} = 4 r^{2} + 2 P B \times P C \end{matrix}

4 r^{2}

állandó és

P B \times P C

, mint a

P

pontnak a nagyobb körre vonatkozó hatványa szintén állandó, tehát állandó a

4 r^{2} + P B \times P C

összeg és vele együtt a

P A^{2} + P B^{2} + P C^{2}

kifejezés is.
Az

A P C

háromszögből következik, hogy:

\begin{matrix} A C^{2} = A P^{2} + P C^{2} \end{matrix}

s az

A P B

háromszögből, hogy:

\begin{matrix} A B^{2} = A P^{2} + P B^{2} \end{matrix}

Minthogy továbbá

\begin{matrix} B C^{2} = {(B P + P C)}^{2} = P B^{2} + P C^{2} + 2 P B \times P C \end{matrix}

lesz végre

\begin{matrix} A B^{2} + B C^{2} + C A^{2} = 2 (P A^{2} + P B^{2} + P C^{2} + P B \times P C) \end{matrix}

miből az előbbiek alapján következik, ez utóbbi kifejezés állandósága is.

2^{\circ}

A B C

háromszög súlypontja

G

azonos az

A P Q

háromszögével, mert

A R

transzversálison fekszik

A

-tól

\frac{2}{3} A R

távolságra, hol

R

B C

ill.

P Q

távolság felező pontja. De az

A P Q

derékszögű háromszög súlypontja

P O

sugáron is fekszik,

P

-től

\frac{2}{3} P O

távolságra, tehát állandó, s így az

A B C

háromszög súlypontja is állandó.

3^{\circ}

Legyenek az

A B, B C

és

C A

oldalok felező pontjai

T, R, S

. Minthogy

\begin{matrix} A G : G R = B G : G S = C G : G F = 2 : 1 \end{matrix}

G

nem más, mint a keresett mértani helyek közös belső hasonlósági pontja. A mértani helyek tehát konczentrikus körök, s mivel

B

és

C

egy kör kerületén mozognak az

S

és

T

mértani helyei egybeesnek. Minthogy az

R

pont mértani helye az

O P

mint átmérő fölött leírt kör, a mértani helyek közös középpontja az

O P

egyenes felező pontja.

(Visnya Aladár, főreálisk. VIII. oszt.tan., Pécsett.)

A feladatok még megoldották: Grünhut Béla és Weisz Lipót, Pécsett.