Kezdőlap


Feladat:	160. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Friedmann Bernát , Grünhut Béla , Maxer Miksa , Szabó István , Visnya Aladár , Weisz Lipót
Füzet:	1895/december, 49 - 50. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Derékszögű háromszögek geometriája, Diszkusszió, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1895/október: 160. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a derékszögű háromszög nagyobbik befogója $x$ , a kisebbik $y$ , az átfogó $z$ és a rá emelt magasság $h$ .
Ekkor a feladat értelmében

\begin{matrix} x - y = α \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} z - h = β \end{matrix}

(2)

Továbbá

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = z^{2} \end{matrix}

(3)

\begin{matrix} x y = h z \end{matrix}

(4)

(1)

és

(3)

alatti egyenletekből következik:

\begin{matrix} 2 x y = z^{2} - α^{2} \end{matrix}

(5)

(2)

és

(4)

alattiakból:

\begin{matrix} x y = z (z - β) \end{matrix}

(6)

Végre az

(5)

és

(6)

alattiakból:

\begin{matrix} 2 z (z - β) = z^{2} - α^{2} \end{matrix}

vagy

z

fogyó hatványai szerint rendezve:

\begin{matrix} z^{2} - 2 β z + α^{2} = 0 \end{matrix}

(7)

ez egyenletnek gyökei:

\begin{matrix} z = β \pm \sqrt[]{β^{2} - α^{2}} \end{matrix}

(8)

Auz

x

és a

(- y)

, mint az

(1)

és

(4)

alatti egyenletekből következik, a következő másodfokú egyenlet gyökei:

\begin{matrix} λ^{2} - x λ - h z = 0 \end{matrix}

(9)

hol

\begin{matrix} h = z - β \end{matrix}

(10)

Hogy

z

-nek a

(8)

alatti egyenletből nyert értékei közül valamelyik a feladatnak megfeleljen, kell, hogy az valós, positív és mint a

(10)

-ből következik

β

-nál nagyobb legyen. A valósság feltétele

\begin{matrix} β > α \end{matrix}

és ez esetben a

(8)

alatti egyenlet gyökei közül a nagyobbik felel meg a feladatnak. De ugyanekkor a

(9)

alatti egyenlet szolgáltatta gyökök is megfelelők, mert az állandó tag negatív lévén a gyökök valósak és ellentett előjelűek.

(Friedmann Bernát, főgymn. VII. o. t. S.-A.-Ujhely.)

A feladatot még megoldották: Grünhut Béla, Visnya Aladár és Weisz Lipót, Pécsett; Mayer Miksa, Budapesten és Szabó István Debreczenben.