Kezdőlap


Feladat:	158. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Weisz Lipót
Füzet:	1895/december, 54 - 55. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Simson-egyenes, Húrnégyszögek, Magasságpont, Háromszögek hasonlósága, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1895/október: 158. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minthogy az $M A B C$ négyszög húrnégyszög, az $M A B = B C M$ . Hasonlóképpen az $M P C Q$ húrnégyszögből $P C M = P Q M$ ; tehát minthogy $P C M = B C M$ , azért $M A B = P Q M$ . Az $M Q A R$ húrnégyszögből $M Q R = M A R = M A B$ tehát $M Q R = M Q P$ , vagyis a $Q, R$ és $P$ pontok egy egyenesben feküsznek.
Jeleljük az $A B C$ háromszög magasságainak metszéspontját $H$ -val és az $A H$ metszéspontját a körrel $K$ -val. Legyen továbbá $N$ az $M P$ egyenes oly pontja, hogy $M P = P N$ . Ekkor $M K$ és $N H$ a $B E$ egyenes egy $S$ pontjában metszik egymást és az $M S N$ és $H S K$ egyenlőszárú háromszögek hasonlók. Tehát $M N H = M K H$ .
De az $M A K B$ húrnégyszögből következik, miszerint

\begin{matrix} M B R = M B A = M K A = M K H \end{matrix}

Viszont az

M P B R

húrnégyszögből, hogy

\begin{matrix} M B R = M P R \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} M P R = M N H \end{matrix}

vagyis a

P R

párhuzamos az

N H

-val.
Minthogy ezenkívül

M P = P N

M

és

N

és ezzel együtt a

H

is a

P R Q

egyenestől egyenlő távolságra feküsznek.

(Weisz Lipót, főreálisk. VII. o. t., Pécsett.)