Kezdőlap


Feladat:	156. matematika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Friedmann Bernát , Galter János , Grünhut Béla , Kohn Márkus , Mayer Miksa , Szabó István , Visnya Aladár , Weisz Lipót
Füzet:	1895/december, 52 - 53. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körülírt kör középpontja, Körérintési szerkesztések, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Kör geometriája, Beírt kör, Magasságpont, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1895/október: 156. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első megoldás.

Jeleljük a

k_{1}, k_{2}, k_{3}

körök középpontjait

C_{1}, C_{2}, C_{3}

-mal, a

C_{1} A_{2} A_{3}

egyenlőszárú háromszög alapján fekvő egyenlő szögeket

β_{1}

-gyel hasonlóképpen a

C_{2} A_{3} A_{1}

és

C_{3} A_{1} A_{2}

háromszögek alapjain fekvő szögeket rendre

β_{2}

és

β_{3}

-mal.
Ekkor látjuk, hogy:

\begin{matrix} β_{2} + β_{3} = 180 - α_{1} \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} β_{3} + β_{1} = 180 - α_{2} \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} β_{1} + β_{2} = 180 - α_{3} \end{matrix}

(3)

(2)

egyenletből kivonom az

(1)

-t a következőt nyerem,

\begin{matrix} β_{1} - β_{2} = α_{1} - α_{2} \end{matrix}

(4)

míg a harmadik az

α_{1} + α_{2} + α_{3} = 180

reláczió tekintetbe vételével a következő alakot nyeri

\begin{matrix} β_{1} + β_{2} = α_{1} + α_{2} \end{matrix}

(5)

(4)

és

(5)

-ből következik, hogy

\begin{matrix} β_{1} = α_{1} \end{matrix}

\begin{matrix} β_{2} = α_{2} \end{matrix}

Minthogy

(1), (2)

és

(3)

összeadásából következik, hogy

\begin{matrix} 2 (β_{1} + β_{2} + β_{3}) = 360^{\circ}, \end{matrix}

látjuk, hogy

\begin{matrix} β_{3} = α_{3} \end{matrix}

Ezek után a keresett körök középpontjait a következőképpen szerkesztjük. Rajzolunk az

A_{2}

ponton keresztül egy

x_{2}

egyenest olyképpen, hogy

A_{1} A_{2} X_{2} = β_{3}

, az

A_{3}

ponton keresztül egy

x_{3}

egyenest olyképpen, hogy

A_{2} A_{3} X_{3} = β_{1}

és végre az

A_{1}

ponton keresztül egy

x_{1}

egyenest olyképpen, hogy

A_{3} A_{1} X_{1} = β_{2}

. Az

X_{1} X_{2} X_{3}

háromoldal szögpontjai a keresett körök csúcspontjai.

(Kohn Márkus, főreálisk. VI. o. t., Pécsett.)

A feladatot még megoldották: Mayer Miksa, Budapesten és Szabó István Debreczenben.

Második megoldás.

A_{1} A_{2}

oldal felezési pontjában emelt merőleges keresztül megy a

k_{3}

kör középpontján

C_{3}

-on; hasonlóképpen az

A_{2} A_{3}

és

A_{3} A_{1}

oldalok felezési pontjaiban emelt merőlegesek keresztül mennek a

k_{1}

és

k_{2}

körök középpontjain

C_{1}

-en és

C_{2}

-n.
De e három merőlege egy oly

C

pontban metszi egymást, mely az

A_{1}, A_{2}, A_{3}

pontokból egyenlő távolságra van, az

A_{1} A_{2} A_{3}

háromszög köré írt háromszög középpontjában. E

C

pont egyszersmind a

C_{1} C_{2} C_{3}

háromszöget belülről érintő kör középpontja, mert feltevés szerint a

C_{1} C, C_{2} C

és

C_{3} C

egyenesek az egyenlőszárú háromszögek magasságainak ismert tulajdonsága alapján felezik

C_{3} C_{1} C_{2}, C_{1} C_{2} C_{3}

és

C_{2} C_{3} C_{1}

szögeket.
A szerkesztés tehát következőképpen történik.
Megrajzoljuk az

A_{1} A_{2} A_{3}

háromszög körül írt kört és ehhez az

A_{1}, A_{2}, A_{3}

pontokban érintőket húzzunk. Ez érintők metszéspontjai a keresett körök középpontjai.

(Visnya Aladár, főreálisk. VIII. oszt.tan., Pécsett.)

A feladatok még megoldották: Friedmann Bernát, S.-A.-Ujhelyen, Galter János, Sz.-Udvarhelyen; Grünhut Béla és Weisz Lipót, Pécsett.