Feladat: 155. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Grünhut Béla ,  Suschnik József ,  Visnya Aladár 
Füzet: 1895/november, 39 - 41. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Menelaosz-tétel, Projektív geometria, Tetraéderek, Megoldási módszerek - Módszertani szempontok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1895/szeptember: 155. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első megoldás
 

1∘. Az LAB háromszögnek és az S1A'B' egyenes metszéséből következik Menelaus-tételénél fogva, hogy:
LA'AA'⋅AS3BS3⋅BB'SB'=1(1)
Hasonlóképpen az LBC és S1B'C' és az LCA és S2C'A' metszéséből, miszerint:
LB'BB'⋅BS1CS1⋅CC'LC'=1(2)
LC'CC'⋅CS2AS2⋅AA'LA'=1(3)

Ha az (1),(2) és (3) alatti egyenleteket egymással megszorzom és kellőképpen rövidítek, a következő relácziót kapom:
AS3BS3⋅BS1CS1⋅CS2AS2=1(4)
mely ugyancsak a Menelaus-tétele értelmében szükséges és elegendő feltétele annak, hogy az S1,S2 és S3 pontok egy egyenesben feküdjenek.
2∘. Az S1S2C' háromszög és az A'B'S3 egyenes, továbbá az S1S2C háromszög és az ABS3 egyenes metszéséből következik, hogy:
C'A'S2A'⋅S2S3S1S3⋅S1B'C'B'=1(5)
és
S2ACA⋅CBS1B⋅S1S3S2S2=1(6)
Az S2CC' háromszög és az LAA' egyenesek metszéséből pedig, hogy:
S2A'C'A'⋅C'LCL⋅CAS2A=1(7)
Az (5),(6) és (7) alatti egyenletek szorzásából és kellőképpeni rövidítéséből folyik a következő reláczió:
S1B'C'B'⋅C'LCL⋅CBS1B=1(8)
mely szerint B,B' és L is egy egyenesben feküsznek, azaz a BB' egyenes is keresztül megy a CC' és AA' egyenesek metszőpontján L-en.
(Suschnik József, főreálisk. VIII. o. tanuló, Kecskemét).

 
Második megoldás
 

Tegyük fel először, hogy a két háromszög nem fekszik egy síkban. Ekkor az A'B'C' háromszög az (LABC) pyramis és az (A'B'C') sík metszésidomának tekinthető és az S1,S2 és S3 pontok mint az (ABC) és (A'B'C') síkok közös pontjai csak az említett két sík metszésvonalában fekhetnek.
Ha megfordítva S1,S2 és S3 egyenesben fekszik, akkor az AA',BB' és CC' egyenesek közül kettő-kettő egy-egy síkban fekszik és így tehát mindegyik a másik kettőt metszi. Ha a metszéspontok nem esnének egy L pontba az AA',BB' és CC' egyenesek szükségképpen egy síkban feküdnének, mi az esetre, ha az (ABC) és (A'B'C') síkok egymástól külömböznek, nem lehetséges.
Ha másodszor az (ABC) és (A'B'C') háromszögek egy síkban feküsznek, kössük össze a tér egy tetszésszerinti L' pontját az A,B és C pontokkal és az LL' egyenes egy tetszőleges L'' pontját az A',B' és C' pontokkal.
Ekkor az L'A és L''A' egyenesek egymást egy A'', az L'B és L''B' egyenesek egy B'' és az L'C és L''C' egyenesek egymást egy C'' pontban metszik. Minthogy pedig az AB,A'B' és A''B'' egynesek egymást páronkint átmetszik a nélkül, hogy egy síkban feküdnének, az előbbiek értelmében egy-ugyanazon S3 pontban találkoznak, hasonlóképpen a BC,B'C' és B''C'' egyenesek egymást az S1, a CA,C'A' és C''A'' egyenesek egymást az S2 pontban metszik. E pontok mint az (ABC) vagy (A'B'C') és az (A'B''C'') sík közös pontjai egy egyenesben, az előbb említett síkok metszésvonalában feküsznek.
Ha megfordítva S1,S2 és S3 egy S egyenesben feküsznek, a tér egy tetszőleges L'' pontját összekötjük az A',B' és C' pontokkal és ez összekötő egyenesek metszéspontjait egy tetszőleges S-en keresztül fektetett síkkal fölkeressük. Legyenek e metszéspontok A'',B'' és C''; ekkor azonban az A"A,B"B, és C"C egyenesek egymást páronkint egy közös L' pontban metszik. De ekkor végre az AA',BB', és CC' egyenesek is egymást az L'L" egyenes és az (ABC) illetőleg (A'B'C') sík metszéspontjában L-ben metszik.
 

Szerkesztő.

 
(A feladatot meg megoldották: Grünhut Béla és Visnya Aladár Pécsett).