Kezdőlap


Feladat:	154. matematika feladat	Korcsoport: -	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Arany Dániel
Füzet:	1895/november, 35 - 38. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1895/szeptember: 154. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A helyettesítés után az egyenlet bal oldala e következő alakot ölti:

\begin{matrix} A' x'^{2} + 2 B' x' y' + C' y'^{2} + 2 D' x' + 2 E' y' + F', \end{matrix}

mely kifejezésben:

\begin{matrix} A' = A α^{2} + 2 B α α' + C α'^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} B' = A α β + B (α β' + α' β) + C α' β' \end{matrix}

\begin{matrix} C' = A β^{2} + 2 B β β' + C β'^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} D' = (A γ + B γ' + D) α + (B γ + C γ' + E) α' \end{matrix}

\begin{matrix} E' = (A γ + B γ' + D) γ + (B γ + C γ' + E) γ' + (D γ + E γ' + F) . \end{matrix}

Hogy ezek közül

B' = D' = E' = 0

legyen, kell, hogy

\begin{matrix} (A γ + B γ' + D) α + (B γ + C γ' + E) α' = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} (A γ + B γ' + D) β + (B γ + C γ' + E) β' = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} A α β + B (α β' + α' β) + C α' β' = 0 \end{matrix}

legyen.
Ha

α β' - α' β

nem zérus, akkor

\begin{matrix} A γ + B γ' + D = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} B γ + C γ' + E = 0 \end{matrix}

mely egyenletekből meghatározható

γ

és

γ'

értéke.

\begin{matrix} γ = \frac{B E - C D}{A C - B^{2}} \end{matrix}

\begin{matrix} γ' = \frac{B D - A E}{A C - B^{2}} \end{matrix}

α β' - α' β = 0

volna, vagyis

\frac{α}{α'} = \frac{β}{β'}, β = λ α, β' = λ α'

, akkor nemcsak

β' = 0

, hanem egyidejűleg

A' = C' = 0

, vagyis a transzformált kifejezés

x'

-et és

y'

-et egyáltalában nem is tartalmazná. Ezért ezen esetet további vizsgálódásainkból kizárják.
Hogy

γ

és

γ'

véges értékűek legyenek, kell, hogy az

A C - B^{2} = Δ

kifejezés zérustól külömbözzék, vagyis, hogy

\begin{matrix} Δ ≶ 0. \end{matrix}

Δ = 0

, akkor

γ

és

γ'

csak akkor lehet véges, ha egyidejűleg

B E - C D = B D - A E = 0

. Ezen esetet egyelőre függőben hagyjuk.
Az

F'

kifejezés a

γ

és

γ'

értékeinek tekintetbe vételével a következő alakot ölti:

\begin{matrix} F' = \frac{D (B E - C D) + E (B D - A E) + F (A C - B^{2})}{A C - B^{2}} = \frac{Γ}{Δ} \end{matrix}

Hogy a transzformált kifejezés az

x'

és

y'

-től független tagot is tartalmazzon, kell, hogy:

\begin{matrix} \frac{Γ}{Δ} ≶ 0 \end{matrix}

mi, ha

Δ ≶ 0

, akkor áll be, ha egyidejűleg

Γ ≶ 0

; ha azonban

Δ = 0

Γ

-nak is

0

-nak kell lennie, s ez éppen az előbb függőben hagyott esetben áll be, ha tudniillik egyidejűleg

B E - C D = B D - A E = 0

.
Mindezek tekintetbe vételével a transzformált kifejezés a következő alakot nyeri:

\begin{matrix} (A α^{2} + 2 B α α' + C α'^{2}) x'^{2} + (A β^{2} + 2 B β β' + C β'^{2}) y'^{2}) + \frac{Γ}{Δ} = 0 \end{matrix}

vagy ha az egész egyenletet

A

-val szorozzuk és elosztjuk és még

- \frac{Γ}{Δ}

-val osztunk.

\begin{matrix} \frac{(A^{2} α^{2} + 2 A B α α' + A C α'^{2})}{- \frac{A Γ}{Δ}} x'^{2} + \frac{A^{2} β^{2} + 2 A B β β' + A C β'^{2}}{- \frac{A Γ}{Δ}} - 1 = 0 \end{matrix}

Ezen egyenlet még a következő alakra hozható:

\begin{matrix} \frac{{(A α + B α')}^{2} + (A C - B^{2}) α'^{2}}{- \frac{A Γ}{Δ}} x'^{2} + \frac{{(A β + B β')}^{2} + (A C - B^{2}) β'^{2}}{- \frac{A Γ}{Δ}} y^{2} = 1 \end{matrix}

Hogy ez az

\begin{matrix} \frac{x'^{2}}{a^{2}} + \frac{y'^{2}}{b^{2}} = 0 \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} \frac{x'^{2}}{a^{2}} - \frac{y'^{2}}{b^{2}} - 1 = 0 \end{matrix}

alakot ölti, attól függ vajjon

Δ = A C - B^{2}

milyen előjelű. Ha ugyanis

\begin{matrix} Δ > 0 \end{matrix}

akkor úgy az

\begin{matrix} {(A α + B α')}^{2} + (A C - B^{2}) α'^{2} \end{matrix}

valamint az

\begin{matrix} {(A β + B β')}^{2} + (A C - B^{2}) β'^{2} \end{matrix}

α, α'

és

β, β'

minden értékrendszerénél pozitívak, s ha egyidejűleg még

\begin{matrix} A Γ < 0, \end{matrix}

akkor az

\begin{matrix} \frac{x'^{2}}{a^{2}} + \frac{y'^{2}}{b^{2}} - 1 = 0 \end{matrix}

egyenletet kapjuk, s így az

α, α', β

és

β'

értékek meghatározására az

\begin{matrix} A α^{2} + 2 B α α' + C α'^{2} = - \frac{Γ}{Δ a^{2}} \end{matrix}

\begin{matrix} A β^{2} + 2 B β β' + C β'^{2} = - \frac{Γ}{Δ b^{2}} \end{matrix}

\begin{matrix} A α β + B (α β' + α' β) + C α' β' = 0 \end{matrix}

egyenletek szolgálnak. Az egyenletek száma eggyel kisebb lévén az ismeretlenek számánál végtelen sok megoldást kapunk.
Hogy az adott egyenlet az

\begin{matrix} \frac{x'^{2}}{a^{2}} - \frac{y'^{2}}{b^{2}} - 1 = 0 \end{matrix}

alakra legyen hozható, arra szükséges, hogy

\begin{matrix} Δ < 0 \end{matrix}

legyen, mert az

\begin{matrix} {(A α + B α')}^{2} - (- Δ)) α'^{2} \end{matrix}

és az

\begin{matrix} {(A β + B β')}^{2} - (- Δ) β'^{2} \end{matrix}

kifejezések valamelyike csak akkor vehet fel negatív értékeket is. A keresett értékek meghatározására szolgáló egyenletrendszer különben ekkor is a föntebbi (csak némileg módosított) alakkal bír.

Arany Dániel.