Kezdőlap


Feladat:	150. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Friedmann Bernát , Imre János , Visnya Aladár
Füzet:	1895/október, 18 - 20. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Térfogat, Térgeometria alapjai, Köréírt gömb, Paralelepipedon, Terület, felszín, Szimmetrikus egyenletek, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1895/június: 150. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Feltétel szerint

\begin{matrix} 3 x y z = 2 π \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} x y + y z + z x = π \end{matrix}

(2)

Továbbá

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 \end{matrix}

(3)

(2)

és

(3)

-ból következik, hogy

\begin{matrix} {(x + y + z)}^{2} = 2 π + 4 \end{matrix}

s így tehát

\begin{matrix} x + y + z = \sqrt[]{2 π + 4} \end{matrix}

(4)

x, y

és

z

a következő egyenletnek gyökei;

\begin{matrix} (u - x) (u - y) (u - z) = 0, \end{matrix}

mely kifejtve a következő alakot nyeri:

\begin{matrix} u^{3} - (x + y + z) u^{2} + (x y + y z + z x) u - x y z = 0 \end{matrix}

vagy az

(1), (2)

és

(4)

alatti egyenletek felhasználásával:

\begin{matrix} u^{3} - \sqrt[]{2 π + 4} u^{2} + π u - \frac{2}{3} π = 0 \end{matrix}

(5)

Ha az

\begin{matrix} u^{3} + a u^{2} + b u + c = 0 \end{matrix}

(6)

egyenletben az

\begin{matrix} u = v - \frac{a}{3} \end{matrix}

helyettesítést eszközöljük, a

\begin{matrix} v^{3} + 3 p v + 2 q = 0 \end{matrix}

(7)

egyenletet nyerjük, hol

\begin{matrix} 3 p = b - \frac{a^{2}}{3}, 2 q = \frac{2 a^{3}}{27} - \frac{a b}{3} + c . \end{matrix}

(7)

alatti egyenlet gyökei közt akkor van két complex gyök, ha

\begin{matrix} q^{2} + p^{3} > 0. \end{matrix}

Minthogy

\begin{matrix} 3 p = π - \frac{2 π + 4}{3} = \frac{π - 4}{3} \end{matrix}

\begin{matrix} p = \frac{π - 4}{9}, \end{matrix}

(8)

továbbá

\begin{matrix} 2 q = - \sqrt[]{2 π + 4} (\frac{4 π + 8}{27} - \frac{π}{3}) - \frac{2 π}{3} \end{matrix}

\begin{matrix} = + \sqrt[]{2 π + 4} \frac{5 π - 8}{27} - \frac{2 π}{3} \end{matrix}

\begin{matrix} q = \frac{(5 π - 8) \sqrt[]{2 π + 4}}{54} - \frac{π}{3} \end{matrix}

(9)

azért

\begin{matrix} \frac{(5 \times 3,14 - 8) \sqrt[]{4 + 2 \times 3,1415} - 18 \times 3,15}{54} < q \end{matrix}

\begin{matrix} q < \frac{(5 \times 3,15 - 8) \sqrt[]{4 + 2 \times 3,1416} - 18 \times 3,14}{54} \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{+ 7,7 \sqrt[]{10,2830} - 18 \times 3,15}{54} < q < \frac{+ 7,75 \sqrt[]{10,2832} - 18 \times 3,14}{54} \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{7,7 \times 3,20 - 56,70}{54} < q < \frac{+ 7,75 \times 3,21 - 56,52}{54} \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{- 32,06}{54} < q < \frac{- 31,6425}{54} \end{matrix}

\begin{matrix} - 0,60 < q < - 0,58 \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} 0,33 < q^{2} < 0,36 \end{matrix}

míg

\begin{matrix} \frac{3,1415 - 4}{9} < p < \frac{3,1416 - 4}{9} \end{matrix}

\begin{matrix} - \frac{0,8585}{9} < p < \frac{- 0,8584}{9} \end{matrix}

\begin{matrix} - 0,0954 < p < - 0,0953 \end{matrix}

\begin{matrix} - 0,1 < p < - 0,09 \end{matrix}

s így

\begin{matrix} - 0,001 < p^{3} < - 0,000729 \end{matrix}

\begin{matrix} - 0,0010 < p^{3} < - 0,0007 \end{matrix}

minélfogva

\begin{matrix} 0,33 - 0,0010 < q^{2} + p^{3} < 0,36 - 0,0007, \end{matrix}

\begin{matrix} 0,3290 < q^{2} + p^{3} < 0,3593; \end{matrix}

vagyis a

(7)

- és így a

(6)

- illetve

(5)

- alatti egyenlet két gyöke complex érték, s a feladat követelményeit kielégítő parallelepipedon nem létezik.

A feladatot megoldották: Friedmann Bernát, S.-A-Ujhely; ifj. Imre János, Nyíregyháza; Visnya Aladár, Pécs.