Kezdőlap


Feladat:	148. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Grünhut Béla , Imre János
Füzet:	1895/október, 24 - 27. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Körérintési szerkesztések, Szögfelező egyenes, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1895/június: 148. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első megoldás.

(Számítás útján.)

Tudjuk, hogy

\begin{matrix} c o s^{2} \frac{A}{2} = \frac{p (p - a)}{b c} = \frac{1}{4} \end{matrix}

(1)

hol

\begin{matrix} p - a = \frac{b + c - a}{2} = \frac{d}{2} és p = \frac{b + c + a}{2} = \frac{d + 2 a}{2} . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} d (d + 2 a) = b c \end{matrix}

s mert

a = b + c - d

\begin{matrix} d (2 b + 2 c - d) = b c, \end{matrix}

\begin{matrix} b c - 2 d (b + c) + d^{2} = 0 \end{matrix}

(2)

Másrészt, ha az

a

és

a'

metszéspontját

A'

-val jelölöm, következik, hogy:

A B C

területe

= A B A'

területe

+ A C A'

területe, vagy

\begin{matrix} b c = (b + c) a' \end{matrix}

(3)

(2)

és

(3)

-ból nyerem a következő értékeket:

\begin{matrix} b + c = \frac{d^{2}}{2 d - a'}, b c = \frac{a' d^{2}}{2 d - a'} . \end{matrix}

Tehát

b

és

c

a következő másodfokú egyenlet gyökei:

\begin{matrix} (2 d - a') X^{2} - d^{2} X + a' d^{2} = 0. \end{matrix}

(4)

a

-nak értéke:

\begin{matrix} a = b + c - d = \frac{d (a' - d)}{2 d - a'} \end{matrix}

(5)

(ifj. Imre János, Nyíregyháza).

A feladatot még megoldotta: Grünhut Béla, Pécs.

Jegyzet. Hogy az

a, b, c

értékek a feladatnak megfeleljenek, mindenekelőtt kell, hogy pozitívok legyenek.
Az

a

értéke pozitív lesz, ha az

\begin{matrix} (a' - d) (2 d - a') \end{matrix}

szorzat pozitív. Ez akkor áll be, ha

\begin{matrix} \frac{a'}{2} < d < a' \end{matrix}

(6)

b

és

c

értékei a

(4)

-ből nyeretvén, látjuk, hogy a gyökök szorzata és összege a

(6)

alatti feltétel mellett pozitív és a két gyök maga is pozitív lesz, ha a

(4)

alatti egyenlet determinánsa

\begin{matrix} ζ = d^{4} - 4 (2 d - a) a d^{2} ≧ 0 \end{matrix}

Azonban

\begin{matrix} ζ = d^{2} (d^{2} - 8 a' d + 4 a'^{2}), \end{matrix}

\begin{matrix} = d^{2} [d - 2 a' (2 - \sqrt[]{3})] [d - 2 a' (2 + \sqrt[]{3})] . \end{matrix}

Minthogy

d < a', ζ

- [d - 2 a' (2 - \sqrt[]{3})]

előjelét veszi fel, vagyis pozitív vagy zérus, a szerint, amint

\begin{matrix} d ≦ 2 a' (2 - \sqrt[]{3}) . \end{matrix}

Tehát a probléma csak akkor lehetséges, ha

\begin{matrix} \frac{a'}{2} < d ≦ 2 a' (2 - \sqrt[]{3}) \end{matrix}

(7)

Ez esetben azonban az

(5)

-ből tényleg következik, hogy

b + c > a

, míg másrészt kimutatható, hogy

a^{2} > {(b - c)}^{2}

, mely feltételek szükségesek és elegendők arra, hogy az

a, b

és

c

hosszúságokból háromszög alakíttathassék.

Szerkesztő.

Második megoldás.

(Szerkesztés útján.)

Tegyük fel, hogy a probléma meg van oldva és legyen

A B C

a háromszög, melyből ismerjük az

A

szöget, az

A A'

szögfelező egyenest és az

A B + A C - B C = d

külömbséget.
Rajzoljuk meg a háromszöget belülről érintő kört. Legyen középpontja

O

, érintkezési pontja az

A C

oldallal

I

. Tudjuk, hogy

\begin{matrix} A I = \frac{1}{2} (A B + A C - B C) = \frac{d}{2} \end{matrix}

A O I

derékszögű háromszög tehát meg van határozva az

A I

oldal és az

O A I = \frac{A}{2}

szög által. Megszerkesztjük és választunk átfogóján

A O

-n egy

A'

pontot, melynek helyzetét az

A A' = a'

egyenletből határozzuk meg. E pontból húzunk érintőt az

O I

sugarú körhöz, ez lesz a háromszög

B C

oldala, míg az

A

-ból húzott második érintő az

A B

oldalt szolgáltatja.

Jegyzet. Hogy a probléma lehetséges legyen, kell, hogy az

A'

pont az

O

körön kívül essék, amiből következik, hogy

\begin{matrix} A A' ≧ A O + O I \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} a' ≧ \frac{d (1 + sin \frac{A}{2})}{2 cos \frac{A}{2}} . \end{matrix}

Hogy az

O

kör a háromszöget belülről érintse, kell, hogy

\begin{matrix} A A' < 2 A O \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} a' > \frac{d}{cos \frac{A}{2}} . \end{matrix}

E két egyenlőtlenség

A = 120^{\circ}

esetére a következőkbe megy át:

\begin{matrix} \frac{d (2 + \sqrt[]{3})}{2} ≦ a < 2 d \end{matrix}

melyek a

(7)

alattiakkal összeegyeztethetők.

Szerkesztő.