Kezdőlap


Feladat:	147. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Grünhut Béla , Meitner Elemér , Visnya Aladár , Weisz Lipót
Füzet:	1895/október, 23 - 24. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Súlypont, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Terület, felszín, Parabola, mint mértani hely, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1895/június: 147. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $C D$ húr változása által keletkezett háromszögek mind hasonlók, mert az $A C B$ és $A D B$ szögek mind egyenlő húron $(A B)$ nyugvó kerületi szögek az egyes körökben. Az $A C B$ -t és mellékszögét felező egyenesek tehát az $A B$ -re merőleges átmérő $(F F')$ végpontjain mennek keresztül. Hasonlóképen az $A D B$ -t és mellékszögét felező egyenesek a másik kör $A B$ -re merőleges átmérőjének $(E E')$ végpontjain mennek keresztül. E négy szögfelező egyenes egymást páronkint (a $C$ és $D$ pontokon kívül) az $M, M_{1}, M_{2}$ és $M_{3}$ pontokban metszi.
Minthogy a $C M D$ háromszög $C$ és $D$ szögei állandók, állandó a $C M D$ szög és vele együtt az $E M F$ szög is. De $E A B = E D B$ és $F A B = F C B$ , azért tehát $E A F = 2 R - E M F$ . Az $E A F M$ négyszög húrnégyszög, s így tehát az $M$ pontok mértani helye az $E A F$ kör.
Hasonló megfontolások mutatják, hogy az $M_{1}, M_{2},$ és $M_{3}$ pontok mértani helyei az $E' A F', E' A F$ és $E A F'$ körök.
A háromszög súlypontja $G$ a $C Q$ és $D R$ egyenesek metszéspontja, hol $Q$ az $A D$ és $R$ az $A C$ oldalok felezési pontja. Minthogy az $A C D$ háromszög minden helyzetében hasonló marad önnönmagához, az $A C : A D$ viszony állandó; tehát az $A C Q$ és $A D R$ szögek mind rendre egyenlők egymással, azaz állandó $A Q_{1}$ és $A R_{1}$ íveken nyugosznak. Az $A Q_{1} G R_{1}$ négyszög húrnégyszög, mert $Q_{1} A B = Q_{1} C B$ és $R_{1} A B = R_{1} D B$ , tehát $Q_{1} A R_{1} + R_{1} G Q_{1} = 2 R B$ . A $G$ egyenesek mértani helye az $A Q_{1} R_{1}$ kör.
A $C A D$ háromszög alakja állandó levén, területe akkor lesz maximum, ha oldalai maximálisak. Ez akkor következik be, ha az $A C_{1}$ és $A D_{1}$ oldalok az egyes körök átmérői lesznek. Ez esetben a $C_{1} D_{1}$ oldal merőleges $A B$ -re.
Minthogy a $C_{1} C B$ és a $B D D_{1}$ szögek állandók, állandó a $C_{1} P D_{1} = B D D_{1} - B C C_{1}$ szög is. Azonkívül a $C_{1} C B = C_{1} A B$ , $C D P = B A D_{1}$ (mert $B D D_{1}$ mindkettőt $2 R$ -re egészíti ki) egyenlőségekből következik, hogy $C_{1} A D_{1} + D_{1} P C_{1} = 2 R$ , vagyis a $C_{1} A D_{1} P$ négyszög húrnégyszög és így a $P$ pont mértani helye a $C_{1} A D_{1}$ kör.

(Weisz Lipót, főreáliskolai VIII. o. t. Pécs.)

A feladatot még megoldották: Grünhut Béla, Pécs; Meitner Elemér, Budapest; Visnya Aladár, Pécs.