Kezdőlap


Feladat:	145. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Friedmann Bernát , Galter János , Grünhut Béla , Imre János , Jankovich György , Meitner Elemér , Visnya Aladár , Weisz Lipót
Füzet:	1895/október, 17 - 18. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1895/június: 145. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Számítsuk ki az

\begin{matrix} x^{2} + p x + q = 0 \end{matrix}

(1)

egyenlet együtthatóit, ha tudjuk, hogy azon egyenlet, melynek gyökei eggyel nagyobbak az előbbiéinél, a következő alakú:

\begin{matrix} x^{2} - p^{2} x + p q = 0. \end{matrix}

(2)

Megoldás. Ha az első egyenlet gyökei

x'

és

x''

, akkor ismeretes, miszerint:

\begin{matrix} x' + x'' = - p, x' x'' = q . \end{matrix}

(3)

A feladat értelmében

\begin{matrix} (x' + 1) + (x'' + 1) = p^{2}, (x' + 1) (x'' + 1) = p q \end{matrix}

(4)

vagy rendezve és a

(3)

alatti értékeket helyettesítve:

\begin{matrix} - p + 2 = p^{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} q - p + 1 = p q . \end{matrix}

(5)

Ezen egyenletek még a következő alakra hozhatók:

\begin{matrix} (p - 1) (p + 2) = 0, \end{matrix}

\begin{matrix} (p - 1) (q + 1) = 0; \end{matrix}

(6)

p = 1

, akkor, mint a

(6)

-ból közvetlenül látható,

q

értéke tetszés szerinti lehet, míg ha

p = - 2

, akkor

q = - 1

. Az adott egyenlet tehát a következő alakú lehet:

\begin{matrix} x^{2} + x + q = 0, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} x^{2} - 2 x + 1 = 0. \end{matrix}

(Galter János, főreálisk. VIII. o. t. Székely-Udvarhely).

A feladatot még megoldották: Friedmann Bernát, S.-A.-Ujhely; Grünhut Béla, Pécs; ifj. Imre János, Nyíregyháza; Jankovich György, Fülek; Meitner Elemér, Budapest; Visnya Aladár és Weisz Lipót, Pécs.